ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 14.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Разложите на множители выражение (n — натуральное число):

1) \( a^{n+1} + a^n + a + 1 \)

2) \( b^{n+2} — b — 1 + b^{n+1} \)

3) \( 3y^{n+3} — 3y^2 — 5 + 5y^{n+1} \)

1) \( a^{n+1} + a^n + a + 1 = a^n(a + 1) + (a + 1) = (a + 1)(a^n + 1) \)

2) \( b^{n+2} — b — 1 + b^{n+1} = (b^{n+2} + b^{n+1}) — (b + 1) = b^{n+1}(b + 1) — \)

\(- (b + 1) = (b + 1)(b^{n+1} — 1) \)

3) \( 3y^{n+3} — 3y^2 — 5 + 5y^{n+1} = 3y^2(y^{n+1} — 1) + 5(y^{n+1} — 1) =\)

\(= (y^{n+1} — 1)(3y^2 + 5) \)

1) Рассмотрим выражение \( a^{n+1} + a^n + a + 1 \).

Шаг 1: Мы видим, что можно выделить общий множитель в первых двух слагаемых и в последних двух:

\( a^{n+1} + a^n + a + 1 = a^n(a + 1) + 1(a + 1) \)

Шаг 2: Далее можно вынести \( (a + 1) \) как общий множитель:

\( a^n(a + 1) + 1(a + 1) = (a + 1)(a^n + 1) \)

Ответ: \( a^{n+1} + a^n + a + 1 = (a + 1)(a^n + 1) \).

2) Рассмотрим выражение \( b^{n+2} — b — 1 + b^{n+1} \).

Шаг 1: Группируем слагаемые так, чтобы выделить общие множители:

\( b^{n+2} — b — 1 + b^{n+1} = (b^{n+2} + b^{n+1}) — (b + 1) \)

Шаг 2: Выносим \( b^{n+1} \) за скобки из первых двух слагаемых, и \( (b + 1) \) из оставшихся:

\( (b^{n+2} + b^{n+1}) — (b + 1) = b^{n+1}(b + 1) — (b + 1) \)

Шаг 3: Вынесем \( (b + 1) \) как общий множитель:

\( b^{n+1}(b + 1) — (b + 1) = (b + 1)(b^{n+1} — 1) \)

Ответ: \( b^{n+2} — b — 1 + b^{n+1} = (b + 1)(b^{n+1} — 1) \).

3) Рассмотрим выражение \( 3y^{n+3} — 3y^2 — 5 + 5y^{n+1} \).

Шаг 1: Группируем слагаемые так, чтобы выделить общие множители:

\( 3y^{n+3} — 3y^2 — 5 + 5y^{n+1} = 3y^2(y^{n+1} — 1) + 5(y^{n+1} — 1) \)

Шаг 2: Теперь можно вынести \( (y^{n+1} — 1) \) как общий множитель:

\( 3y^2(y^{n+1} — 1) + 5(y^{n+1} — 1) = (y^{n+1} — 1)(3y^2 + 5) \)

Ответ: \( 3y^{n+3} — 3y^2 — 5 + 5y^{n+1} = (y^{n+1} — 1)(3y^2 + 5) \).