ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 14.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Разложите на множители выражение (n — натуральное число):

1) \(x^{n+2} + x^n — x^2 — 1 \)

2) \(4y^{n+4} + y^{n+2} + 4y^3 + y  \)

1) \(x^{n+2} + x^n — x^2 — 1 = x^n(x^2 + 1) — (x^2 + 1) = (x^2 + 1)(x^n — 1);\)

2) \(4y^{n+4} + y^{n+2} + 4y^3 + y = (4y^{n+4} + 4y^3) + (y^{n+2} + y) =\)
\(= 4y^3(y^{n+1} + 1) + y(y^{n+1} + 1) = (y^{n+1} + 1)(4y^3 + y) =\)
\(= y(y^{n+1} + 1)(4y^2 + 1).\)

1) \( x^{n+2} + x^n — x^2 — 1 \)

Для начала рассмотрим выражение \( x^{n+2} + x^n — x^2 — 1 \). Разделим его на две части:

• Первая часть: \( x^{n+2} + x^n \)
• Вторая часть: \( — x^2 — 1 \)

Теперь разберем каждую часть:

• Первая часть: \( x^{n+2} + x^n = x^n(x^2 + 1) \) (вынесли \( x^n \) за скобки, так как это общий множитель)
• Вторая часть: \( — x^2 — 1 = -(x^2 + 1) \) (вынесли знак минус за скобки)

Теперь выражение выглядит так:

\( x^{n+2} + x^n — x^2 — 1 = x^n(x^2 + 1) — (x^2 + 1) \)

Далее можно вынести \( (x^2 + 1) \) как общий множитель:

\( x^n(x^2 + 1) — (x^2 + 1) = (x^2 + 1)(x^n — 1) \)

Ответ для первой части:

\( x^{n+2} + x^n — x^2 — 1 = (x^2 + 1)(x^n — 1) \)

2) \( 4y^{n+4} + y^{n+2} + 4y^3 + y \)

Для начала рассмотрим выражение \( 4y^{n+4} + y^{n+2} + 4y^3 + y \). Разделим его на две части:

• Первая часть: \( 4y^{n+4} + 4y^3 \)
• Вторая часть: \( y^{n+2} + y \)

Теперь разберем каждую часть:

• Первая часть: \( 4y^{n+4} + 4y^3 = 4y^3(y^{n+1} + 1) \) (вынесли \( 4y^3 \) как общий множитель)
• Вторая часть: \( y^{n+2} + y = y(y^{n+1} + 1) \) (вынесли \( y \) как общий множитель)

Теперь выражение выглядит так:

\( 4y^{n+4} + y^{n+2} + 4y^3 + y = 4y^3(y^{n+1} + 1) + y(y^{n+1} + 1) \)

Далее можно вынести \( (y^{n+1} + 1) \) как общий множитель:

\( 4y^3(y^{n+1} + 1) + y(y^{n+1} + 1) = (y^{n+1} + 1)(4y^3 + y) \)

Теперь выражение выглядит так:

\( 4y^{n+4} + y^{n+2} + 4y^3 + y = (y^{n+1} + 1)(4y^3 + y) \)

Далее можем вынести \( y \) из \( 4y^3 + y \):

\( (y^{n+1} + 1)(4y^3 + y) = y(y^{n+1} + 1)(4y^2 + 1) \)

Ответ для второй части:

\( 4y^{n+4} + y^{n+2} + 4y^3 + y = y(y^{n+1} + 1)(4y^2 + 1) \)