ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 14.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при всех натуральных значениях n значение выражения \( n^3 + 3n^2 + 2n \) делится нацело на 6.

\( n^3 + 3n^2 + 2n = n^3 + 2n^2 + n^2 + 2n = n^2(n + 2) + n(n + 2) =\)

\( = (n + 2)(n^2 + n) = n(n + 2)(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) \to \) делится нацело на 6, так как числа \( n \), \( (n + 1) \) и \( (n + 2) \) — это три последовательных натуральных числа, одно из которых четное, а другое — кратное 3. Следовательно, их произведение делится нацело на 6.

Доказательство того, что выражение \( n^3 + 3n^2 + 2n \) делится нацело на 6 для всех натуральных значений \( n \):

Рассмотрим выражение:

\( n^3 + 3n^2 + 2n \)

Для начала разложим его на множители:

• Перепишем выражение так: \( n^3 + 3n^2 + 2n = n^3 + 2n^2 + n^2 + 2n \)
• Теперь сгруппируем: \( (n^3 + 2n^2) \) и \( (n^2 + 2n) \)
• Вынесем общий множитель из каждой группы:
  • Из первой группы \( n^3 + 2n^2 \) можно вынести \( n^2 \): \( n^2(n + 2) \)
  • Из второй группы \( n^2 + 2n \) можно вынести \( n \): \( n(n + 2) \)
• Теперь имеем: \( n^2(n + 2) + n(n + 2) \)
• Вынесем общий множитель \( (n + 2) \): \( (n + 2)(n^2 + n) \)
• Таким образом, получаем окончательную форму: \( n(n + 2)(n + 1) \)

Теперь нам нужно доказать, что выражение \( n(n + 1)(n + 2) \) делится нацело на 6 для всех натуральных значений \( n \).

Мы будем использовать свойство делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится и на 2, и на 3. Рассмотрим три множителя \( n \), \( (n + 1) \) и \( (n + 2) \), которые являются тремя последовательными натуральными числами. Мы знаем, что среди трех последовательных чисел:

• Одно из них обязательно четное, то есть делится на 2.
• Одно из них обязательно делится на 3, так как среди любых трех последовательных чисел одно из них будет кратно 3.

Таким образом, произведение \( n(n + 1)(n + 2) \) делится на 2 и на 3, а значит, оно делится и на 6.

Следовательно, для всех натуральных значений \( n \) выражение \( n^3 + 3n^2 + 2n \) делится нацело на 6.