ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 14.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном значении n, большем 1, значение выражения \( 3^{n+2} — 2^{n+2} + 3^n — 2^n \) делится нацело на 10.

\( 3^{n+2} — 2^{n+2} + 3^n — 2^n = (3^{n+2} + 3^n) — (2^{n+2} + 2^n) =\)

\( = 3^n(3^2 + 1) — 2^n(2^2 + 1) = 3^n(9 + 1) — 2^n(4 + 1) =\)

\( = 3^n \cdot 10 — 2^n \cdot 5 = 3^n \cdot 10 — 2^{n-1} \cdot 2 \cdot 5 = 3^n \cdot 10 — 2^{n-1} \cdot 10 =\)

\( = 10 \cdot (3^n — 2^{n-1}) \to \) делится нацело на 10.

Доказательство того, что для любого натурального значения \( n \), большего 1, выражение \( 3^{n+2} — 2^{n+2} + 3^n — 2^n \) делится нацело на 10:

Рассмотрим выражение:

\( 3^{n+2} — 2^{n+2} + 3^n — 2^n \)

Для начала разложим это выражение:

• Перепишем выражение как: \( (3^{n+2} + 3^n) — (2^{n+2} + 2^n) \)
• Теперь разделим выражение на две части: \( 3^{n+2} + 3^n \) и \( 2^{n+2} + 2^n \)
• Вынесем общий множитель из первой части:
  • Из \( 3^{n+2} + 3^n \) можно вынести \( 3^n \): \( 3^n(3^2 + 1) = 3^n(9 + 1) = 3^n \cdot 10 \)
• Вынесем общий множитель из второй части:
  • Из \( 2^{n+2} + 2^n \) можно вынести \( 2^n \): \( 2^n(2^2 + 1) = 2^n(4 + 1) = 2^n \cdot 5 \)
• Теперь получаем выражение: \( 3^n \cdot 10 — 2^n \cdot 5 \)
• Далее, можно вынести общий множитель 5: \( 5(2 \cdot 3^n — 2^{n-1}) \), так как \( 2^n = 2^{n-1} \cdot 2 \)

Таким образом, выражение можно записать в виде:

\( 3^{n+2} — 2^{n+2} + 3^n — 2^n = 5 \cdot (2 \cdot 3^n — 2^{n-1}) \)

Теперь рассмотрим делимость на 10:

• Мы знаем, что число делится на 10, если оно делится на 2 и на 5.
• Поскольку выражение уже делится на 5 (по очевидному множителю 5), нам нужно доказать, что оно также делится на 2.
• Рассмотрим выражение \( 2 \cdot 3^n — 2^{n-1} \). Мы можем проанализировать его делимость на 2 в зависимости от четности \( n \):
  • Если \( n \) четное, то \( 3^n \) нечетное, а \( 2^{n-1} \) четное. Таким образом, разность будет делиться на 2, так как нечетное минус четное — четное.
  • Если \( n \) нечетное, то \( 3^n \) нечетное, а \( 2^{n-1} \) четное. Разность снова будет четной, так как нечетное минус четное — четное.

Таким образом, выражение \( 2 \cdot 3^n — 2^{n-1} \) всегда делится на 2 для всех натуральных \( n \). Следовательно, выражение \( 5 \cdot (2 \cdot 3^n — 2^{n-1}) \) делится на 10 для всех натуральных \( n \), больших 1.

Итак, мы доказали, что для любого натурального значения \( n \), большего 1, выражение \( 3^{n+2} — 2^{n+2} + 3^n — 2^n \) делится нацело на 10.