ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 14.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном значении n, большем 1, значение выражения \( 7^{n+2} — 5^{n+2} + 5^n + 7^n \) делится нацело на 50.

\( 7^{n+2} — 5^{n+2} + 5^n + 7^n = (7^{n+2} + 7^n) — (5^{n+2} — 5^n) =\)

\( = 7^n(7^2 + 1) — 5^n(5^2 — 1) = 7^n(49 + 1) — 5^n(25 — 1) =\)

\( = 7^n \cdot 50 — 5^n \cdot 24 = 7^n \cdot 50 — 5^{n-2} \cdot 5^2 \cdot 24 = 7^n \cdot 50 -\)

\( — 5^{n-2} \cdot 25 \cdot 2 \cdot 12 = 7^n \cdot 50 — 5^{n-2} \cdot 50 \cdot 12 = 50 \cdot (7^n — 5^{n-2} \cdot 12) \to \) делится нацело на 50.

Доказательство того, что для любого натурального значения \( n \), большего 1, выражение \( 7^{n+2} — 5^{n+2} + 5^n + 7^n \) делится нацело на 50:

Рассмотрим выражение:

\( 7^{n+2} — 5^{n+2} + 5^n + 7^n \)

Для начала разложим это выражение:

• Перепишем выражение как: \( (7^{n+2} + 7^n) — (5^{n+2} — 5^n) \)
• Теперь разделим выражение на две части: \( 7^{n+2} + 7^n \) и \( 5^{n+2} — 5^n \)
• Вынесем общий множитель из первой части:
  • Из \( 7^{n+2} + 7^n \) можно вынести \( 7^n \): \( 7^n(7^2 + 1) = 7^n(49 + 1) = 7^n \cdot 50 \)
• Вынесем общий множитель из второй части:
  • Из \( 5^{n+2} — 5^n \) можно вынести \( 5^n \): \( 5^n(5^2 — 1) = 5^n(25 — 1) = 5^n \cdot 24 \)
• Теперь получаем выражение: \( 7^n \cdot 50 — 5^n \cdot 24 \)
• Далее, можно записать \( 5^n \cdot 24 \) как \( 5^{n-2} \cdot 5^2 \cdot 24 \), вынеся дополнительные множители.

Теперь рассмотрим более подробное разложение этого выражения:

• Запишем \( 5^{n-2} \cdot 5^2 \cdot 24 \) как \( 5^{n-2} \cdot 25 \cdot 2 \cdot 12 \), далее можно упростить до: \( 5^{n-2} \cdot 50 \cdot 12 \)
• Теперь имеем выражение: \( 7^n \cdot 50 — 5^{n-2} \cdot 50 \cdot 12 \)
• Вынесем общий множитель 50: \( 50 \cdot (7^n — 5^{n-2} \cdot 12) \)

Таким образом, выражение можно записать в виде:

\( 7^{n+2} — 5^{n+2} + 5^n + 7^n = 50 \cdot (7^n — 5^{n-2} \cdot 12) \)

Теперь рассмотрим делимость на 50:

• Мы знаем, что число делится на 50, если оно делится на 2 и на 25.
• Поскольку выражение уже делится на 50 (по очевидному множителю 50), нам нужно доказать, что оно также делится на 2 и 25.

1. Рассмотрим делимость на 2:

• Рассмотрим выражение \( 7^n — 5^{n-2} \cdot 12 \). Мы видим, что \( 12 \) — четное число, следовательно, выражение \( 7^n — 5^{n-2} \cdot 12 \) всегда будет четным, так как \( 7^n \) и \( 5^{n-2} \) — нечетные числа, а разность нечетного и четного числа всегда четна.
• Следовательно, выражение делится на 2.

2. Рассмотрим делимость на 25:

• Для того чтобы выражение делилось на 25, нужно, чтобы \( 7^n — 5^{n-2} \cdot 12 \) делилось на 25. Так как \( 7^n \) и \( 5^{n-2} \cdot 12 \) имеют разные остатки при делении на 25, это гарантирует, что разность \( 7^n — 5^{n-2} \cdot 12 \) будет делиться на 25 для всех \( n \), начиная с 2, так как возведение в степень и деление по модулю ведет к цикличности остатков.
• Следовательно, выражение делится на 25.

Таким образом, мы доказали, что для любого натурального значения \( n \), большего 1, выражение \( 7^{n+2} — 5^{n+2} + 5^n + 7^n \) делится нацело на 50.