ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 14.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Значения переменных x и y таковы, что выполняется равенство \( x^2 + y^2 = 1 \). Найдите значение выражения \( 2x^4 + 3x^2 y^2 + y^4 + y^2 \)

Если \( x^2 + y^2 = 1 \), то:

\( 2x^4 + 3x^2y^2 + y^4 + y^2 = 2x^4 + 2x^2y^2 + x^2y^2 + y^4 + y^2 =\)

\( = 2x^2(x^2 + y^2) + y^2(x^2 + y^2) + y^2 = (x^2 + y^2)(2x^2 + y^2) + y^2 =\)

\( = (x^2 + y^2)\left(x^2 + (x^2 + y^2)\right) + y^2 = 1 \cdot (x^2 + 1) + y^2 =\)

\( = x^2 + 1 + y^2 = 1 + (x^2 + y^2) = 1 + 1 = 2. \)

Ответ: 2.

Дано, что \( x^2 + y^2 = 1 \), нужно найти значение выражения:

\( 2x^4 + 3x^2 y^2 + y^4 + y^2 \)

Для упрощения выражения, начнем с разложения:

• Перепишем выражение как: \( 2x^4 + 2x^2 y^2 + x^2 y^2 + y^4 + y^2 \)
• Теперь сгруппируем части: \( (2x^4 + 2x^2 y^2) \) и \( (x^2 y^2 + y^4 + y^2) \)
• Первую группу можно записать как: \( 2x^2(x^2 + y^2) \)
• Вторую группу можно записать как: \( y^2(x^2 + y^2) + y^2 \)
• Таким образом, выражение примет вид: \( 2x^2(x^2 + y^2) + y^2(x^2 + y^2) + y^2 \)

Так как \( x^2 + y^2 = 1 \), подставим это значение в выражение:

\( 2x^2(1) + y^2(1) + y^2 = 2x^2 + y^2 + y^2 \)

Теперь упростим выражение:

\( 2x^2 + 2y^2 \)

Заменим \( x^2 + y^2 = 1 \), что означает \( y^2 = 1 — x^2 \), и подставим это в выражение:

\( 2x^2 + 2(1 — x^2) = 2x^2 + 2 — 2x^2 \)

Теперь видим, что \( 2x^2 \) и \( -2x^2 \) взаимно уничтожаются, и остается:

\( 2 \)

Ответ: \( 2 \).