ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 14.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \( a^2 — b^2 = 2 \). Найдите значение выражения \( a^6 + a^4b^2 — 2a^2b^4 — 6a^2b^2 — 4b^2\).

Если \( a^2 — b^2 = 2 \), то:

\( a^6 + a^4b^2 — 2a^2b^4 — 6a^2b^2 — 4b^2 = a^6 + a^4b^2 — a^2b^4 — a^2b^4 -\)

\( — 6a^2b^2 — 4b^2 = a^6 + (a^4b^2 — a^2b^4 — 6a^2b^2) — a^2b^4 — 4b^2 =\)

\( = a^6 + a^2b^2(a^2 — b^2 — 6) — a^2b^4 — 4b^2 = a^6 + a^2b^2 \cdot (2 — 6) — a^2b^4 -\)

\( — 4b^2 = a^6 — 4a^2b^2 — a^2b^4 — 4b^2 = (a^6 — a^2b^4) — 4a^2b^2 — 4b^2 =\)

\( = a^2(a^4 — b^4) — 4a^2b^2 — 4b^2 = a^2(a^2 — b^2)(a^2 + b^2) — 4a^2b^2 — 4b^2 =\)

\( = a^2 \cdot 2 \cdot (a^2 + b^2) — 4a^2b^2 — 4b^2 = 2a^4 + 2a^2b^2 — 4a^2b^2 — 4b^2 =\)

\( = 2a^4 — 2a^2b^2 — 4b^2 = 2a^2(a^2 — b^2) — 4b^2 = 2a^2 \cdot 2 — 4b^2 =\)

\( = 4a^2 — 4b^2 = 4(a^2 — b^2) = 4 \cdot 2 = 8. \)

Ответ: 8.

Дано, что \( a^2 — b^2 = 2 \), нужно найти значение выражения:

\( a^6 + a^4b^2 — 2a^2b^4 — 6a^2b^2 — 4b^2 \).

Шаг 1: Разделим исходное выражение на несколько частей:

\( a^6 + a^4b^2 — 2a^2b^4 — 6a^2b^2 — 4b^2 \).

Шаг 2: Попробуем сгруппировать похожие члены для упрощения. Сначала сгруппируем \( a^6 \), \( a^4b^2 \) и \( -2a^2b^4 \), а затем оставшиеся члены:

\( a^6 + a^4b^2 — 2a^2b^4 — 6a^2b^2 — 4b^2 = (a^6 + a^4b^2 — 2a^2b^4) — (6a^2b^2 + 4b^2). \)

Шаг 3: Начнем с первого выражения \( a^6 + a^4b^2 — 2a^2b^4 \). Здесь можно вынести \( a^2 \) за скобки:

\( a^6 + a^4b^2 — 2a^2b^4 = a^2(a^4 + a^2b^2 — 2b^4). \)

Шаг 4: Теперь у нас есть выражение \( a^2(a^4 + a^2b^2 — 2b^4) \), которое можно дополнительно упростить. Вспоминаем, что \( a^2 — b^2 = 2 \), то есть \( a^2 = b^2 + 2 \). Подставим это значение в выражение для дальнейшего упрощения.

Шаг 5: Подставим \( a^2 = b^2 + 2 \) в выражение \( a^2(a^4 + a^2b^2 — 2b^4) \):

\( a^2 \left[ (b^2 + 2)^2 + (b^2 + 2)b^2 — 2b^4 \right] \).

Шаг 6: Раскроем скобки и упростим:

\( (b^2 + 2)^2 = b^4 + 4b^2 + 4, \)

\( (b^2 + 2)b^2 = b^4 + 2b^2, \)

Таким образом, получаем:

\( a^2 \left[ b^4 + 4b^2 + 4 + b^4 + 2b^2 — 2b^4 \right]. \)

Шаг 7: Упрощаем выражение внутри скобок:

\( b^4 + b^4 — 2b^4 = 0, \)

остается:

\( a^2 \left[ 4b^2 + 4 + 2b^2 \right] = a^2 \left[ 6b^2 + 4 \right]. \)

Шаг 8: Теперь перейдем ко второй части выражения \( -6a^2b^2 — 4b^2 \). Вынесем \( b^2 \) за скобки:

\( -6a^2b^2 — 4b^2 = -b^2(6a^2 + 4). \)

Шаг 9: Подставим \( a^2 = b^2 + 2 \) в выражение \( 6a^2 + 4 \):

\( 6(b^2 + 2) + 4 = 6b^2 + 12 + 4 = 6b^2 + 16. \)

Шаг 10: Таким образом, вторая часть выражения будет:

\( -b^2(6b^2 + 16). \)

Шаг 11: Подставим обе части в исходное выражение:

\( a^2 \left[ 6b^2 + 4 \right] — b^2 \left[ 6b^2 + 16 \right]. \)

Шаг 12: Раскроем скобки:

\( a^2(6b^2 + 4) = 6a^2b^2 + 4a^2, \)

\( -b^2(6b^2 + 16) = -6b^4 — 16b^2. \)

Шаг 13: Теперь подставим все обратно в выражение:

\( 6a^2b^2 + 4a^2 — 6b^4 — 16b^2. \)

Шаг 14: Используем \( a^2 = b^2 + 2 \) снова, чтобы заменить \( a^2 \) в выражении:

\( 6(b^2 + 2)b^2 + 4(b^2 + 2) — 6b^4 — 16b^2. \)

Шаг 15: Раскроем скобки и упростим:

\( 6(b^2 + 2)b^2 = 6b^4 + 12b^2, \)

\( 4(b^2 + 2) = 4b^2 + 8. \)

Теперь имеем:

\( 6b^4 + 12b^2 + 4b^2 + 8 — 6b^4 — 16b^2. \)

Шаг 16: Упрощаем:

\( 6b^4 — 6b^4 = 0, \)

\( 12b^2 + 4b^2 — 16b^2 = 0, \)

остается:

\( 8. \)

Ответ: 8.