Учебник ГДЗ по алгебре за 7 класс авторов Мерзляка и Полякова на углубленном уровне — это настоящая находка для тех учеников, кто хочет не просто выполнять задания, но и глубоко понимать суть алгебраических действий и закономерностей. Он отличается не только четкой структурой, но и детальными разъяснениями каждого примера, что делает его отличным помощником в учебе.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 14.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Целые числа a, b и c таковы, что ab + bc + ac = 1. Докажите, что значение выражения (a² + 1)(b² + 1)(c² + 1) является квадратом целого числа.
Известно, что \( ab + bc + ac = 1 \), тогда:
вместо 1 подставим \( ab + bc + ac \):
\( (a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 + 1) = (a^2 + ab + bc + ac)(b^2 + ab + bc + ac) \cdot \)
\( \cdot (c^2 + ab + bc + ac) = (a(a + b) + c(a + b)) \cdot (b(b + a) + c(b + a)) \cdot \)
\( \cdot (c(c + b) + a(b + c)) = ((a + b)(a + c))((a + b)(b + c)) \cdot \)
\( \cdot ((b + c)(a + c)) = (a + c)^2(a + b)^2(b + c)^2 = ((a + b)(b + c)(a + c))^2. \)
Следовательно, значение данного выражения является квадратом целого числа.
Что и требовалось доказать.
Дано, что \( ab + bc + ac = 1 \), нужно доказать, что значение выражения \( (a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 + 1) \) является квадратом целого числа.
Шаг 1: Начнем с того, что развернем выражение \( (a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 + 1) \).
Раскроем скобки:
\( (a^2 + 1)(b^2 + 1) = a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1. \)
Теперь умножим это на \( (c^2 + 1) \):
\( (a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1)(c^2 + 1) = a^2b^2c^2 + a^2b^2 + a^2 + b^2 + c^2 + 1. \)
Таким образом, выражение для \( (a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 + 1) \) становится:
\( a^2b^2c^2 + a^2b^2 + a^2 + b^2 + c^2 + 1. \)
Шаг 2: Теперь рассмотрим, что мы знаем из условия задачи, а именно, что \( ab + bc + ac = 1 \). Это выражение можно преобразовать следующим образом:
\( ab + bc + ac = 1 → (a + b)(b + c)(c + a) = 1. \)
Шаг 3: Используем это равенство для преобразования исходного выражения. Вместо 1 в выражении \( (a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 + 1) \), подставим \( ab + bc + ac \):
\( (a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 + 1) = (a^2 + ab + bc + ac)(b^2 + ab + bc + ac) \cdot \)
\( \cdot (c^2 + ab + bc + ac) = (a(a + b) + c(a + b)) \cdot (b(b + a) + c(b + a)) \cdot \)
\( \cdot (c(c + b) + a(b + c)) = ((a + b)(a + c))((a + b)(b + c)) \cdot \)
\( \cdot ((b + c)(a + c)) = (a + c)^2(a + b)^2(b + c)^2 = ((a + b)(b + c)(a + c))^2. \)
Шаг 4: Из этого следует, что выражение \( (a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 + 1) \) является квадратом целого числа.
Ответ: выражение \( (a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 + 1) \) является квадратом целого числа, что и требовалось доказать.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!