Учебник ГДЗ по алгебре за 7 класс авторов Мерзляка и Полякова на углубленном уровне — это настоящая находка для тех учеников, кто хочет не просто выполнять задания, но и глубоко понимать суть алгебраических действий и закономерностей. Он отличается не только четкой структурой, но и детальными разъяснениями каждого примера, что делает его отличным помощником в учебе.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 14.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Целые числа a, b и c таковы, что a + b + c = 1. Докажите, что значение выражения (a + bc)(b + ac)(c + ab) является квадратом целого числа.
Известно, что \( a + b + c = 1 \), тогда:
\( a = 1 — b — c; \; b = 1 — a — c; \; c = 1 — a — b. \)
Подставим данные значения:
\( (a + bc)(b + ac)(c + ab) = (1 — b — c + bc)(1 — a — c + ac) \cdot \)
\( \cdot (1 — a — b + ab) = ((1 — b) — c(1 — b))((1 — a) — c(1 — a)) \cdot \)
\( \cdot ((1 — a) — b(1 — a)) = ((1 — b)(1 — c))((1 — a)(1 — c)) \cdot \)
\( \cdot ((1 — a)(1 — b)) = (1 — b)^2(1 — c)^2(1 — a)^2 = \)
\( = ((1 — a)(1 — b)(1 — c))^2. \)
Следовательно, значение данного выражения является квадратом целого числа.
Что и требовалось доказать.
Дано, что целые числа \( a \), \( b \) и \( c \) таковы, что \( a + b + c = 1 \). Нужно доказать, что значение выражения \( (a + bc)(b + ac)(c + ab) \) является квадратом целого числа.
Шаг 1: Из условия \( a + b + c = 1 \), выразим \( a \), \( b \) и \( c \) через другие переменные:
\( a = 1 — b — c; \; b = 1 — a — c; \; c = 1 — a — b. \)
Шаг 2: Подставим эти выражения в исходное выражение \( (a + bc)(b + ac)(c + ab) \):
\( (a + bc)(b + ac)(c + ab) = (1 — b — c + bc)(1 — a — c + ac) \cdot \)
\( \cdot (1 — a — b + ab) \)
Шаг 3: Дальше упростим каждый из множителей. Начнем с первого множителя \( (1 — b — c + bc) \). Выделим общие множители:
\( (1 — b — c + bc) = (1 — b) — c(1 — b). \)
Шаг 4: Теперь упростим второй множитель \( (1 — a — c + ac) \):
\( (1 — a — c + ac) = (1 — a) — c(1 — a). \)
Шаг 5: Третий множитель \( (1 — a — b + ab) \) упростим аналогично:
\( (1 — a — b + ab) = (1 — a) — b(1 — a). \)
Шаг 6: Подставим полученные выражения в исходное выражение:
\( (a + bc)(b + ac)(c + ab) = ((1 — b) — c(1 — b))((1 — a) — c(1 — a)) \cdot \)
\( \cdot ((1 — a) — b(1 — a)) \)
Шаг 7: Умножаем и приводим подобные слагаемые в каждом из множителей:
\( = ((1 — b)(1 — c))((1 — a)(1 — c)) \cdot ((1 — a)(1 — b)) \)
Шаг 8: Перепишем это выражение в виде произведения квадратов:
\( = (1 — b)^2(1 — c)^2(1 — a)^2 \)
Шаг 9: Объединим все множители в один квадрат:
\( = ((1 — a)(1 — b)(1 — c))^2. \)
Шаг 10: Мы получили выражение, которое является квадратом целого числа. Следовательно, значение выражения \( (a + bc)(b + ac)(c + ab) \) действительно является квадратом целого числа.
Ответ: выражение \( (a + bc)(b + ac)(c + ab) \) является квадратом целого числа, что и требовалось доказать.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!