ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 14.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Различные числа а, b и с таковы, что а²(b + c) = b²(c + a). Докажите, что а²(b + c) = c²(a + b).

Известно, что \(a^2(b + c) = b^2(c + a)\), тогда:

\(a^2(b + c) = b^2(c + a)\)

\(a^2b + a^2c = b^2c + ab^2\)

\(a^2b — ab^2 + a^2c — b^2c = 0\)

\(ab(a — b) + c(a^2 — b^2) = 0\)

\(ab(a — b) + c(a — b)(a + b) = 0\)

\((a — b)(ab + c(a + b)) = 0\)

\((a — b)(ab + ac + bc) = 0\)

\(a — b = 0 \quad \text{или} \quad ab + ac + bc = 0\)

\(a = b \qquad\qquad\qquad bb + bc + bc = 0\)

\(\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad b^2 + 2bc = 0\)

\(\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad b(b + 2c) = 0\)

\(\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad b = 0 \quad \text{или} \quad b + 2c = 0\)

\(\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad b = -2c\)

\(\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -2c = 0\)

\(\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad c = 0.\)

Значит:

\(a^2(b + c) = c^2(a + b)\)

\(a^2b + a^2c = ac^2 + bc^2\)

\(a^2b — bc^2 + a^2c — ac^2 = 0\)

\(b(a^2 — c^2) + ac(a — c) = 0\)

\(b(a — c)(a + c) + ac(a — c) = 0\)

\((a — c)(b(a + c) + ac) = 0\)

\((a — c)(ab + bc + ac) = 0\)

\((b — 0)(bb + bc + bc) = 0\)

\((0 — 0)(0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0) = 0\)

\(0 \cdot 0 = 0\)

\(0 = 0 \to\) что и требовалось доказать.

Дано, что \( a^2(b + c) = b^2(c + a) \). Требуется доказать, что \( a^2(b + c) = c^2(a + b) \).

Для начала используем данное условие: \( a^2(b + c) = b^2(c + a) \).

Раскроем скобки с обеих сторон уравнения:

\( a^2b + a^2c = b^2c + ab^2 \)

Переносим все элементы на одну сторону уравнения:

\( a^2b + a^2c — b^2c — ab^2 = 0 \)

Группируем подобные слагаемые:

\( ab(a — b) + c(a^2 — b^2) = 0 \)

Разложим разницу квадратов во втором слагаемом:

\( ab(a — b) + c(a — b)(a + b) = 0 \)

Теперь вынесем общий множитель \( (a — b) \):

\( (a — b)(ab + c(a + b)) = 0 \)

Так как произведение равно нулю, то одно из множителей должно быть равно нулю. Рассмотрим два случая:

1. \( a — b = 0 \), что даёт \( a = b \).

2. \( ab + c(a + b) = 0 \), что преобразуем в \( ab + ac + bc = 0 \).

Теперь рассмотрим второй случай, \( ab + ac + bc = 0 \):

Вынесем общий множитель \( b \):

\( b(a + c) + ac = 0 \)

Вынесем \( a \) из двух последних слагаемых:

\( b(a + c) + a(c) = 0 \)

Теперь преобразуем уравнение:

\( b(a + c) + ac = 0 \)

Таким образом, мы получаем два возможных решения:

1. \( b = 0 \), или

2. \( b + 2c = 0 \), что даёт \( b = -2c \).

Из первого решения \( b = 0 \), получается, что \( c = 0 \), так как мы рассматриваем равенство \( ab + ac + bc = 0 \).

Теперь рассмотрим первый случай, \( a = b \). Подставим это в исходное уравнение:

\( a^2(b + c) = b^2(c + a) \)

Так как \( a = b \), у нас получится:

\( a^2(a + c) = a^2(c + a) \)

Обе части уравнения одинаковы, и следовательно, оно верно.

Теперь вернёмся к задаче доказать, что \( a^2(b + c) = c^2(a + b) \).

Для этого воспользуемся аналогичным методом:

Раскроем скобки с обеих сторон уравнения:

\( a^2(b + c) = c^2(a + b) \)

\( a^2b + a^2c = c^2a + c^2b \)

Переносим все элементы на одну сторону уравнения:

\( a^2b + a^2c — c^2a — c^2b = 0 \)

Группируем слагаемые:

\( b(a^2 — c^2) + c(a^2 — c^2) = 0 \)

Вынесем общий множитель \( (a^2 — c^2) \):

\( (a^2 — c^2)(b + c) = 0 \)

Для произведения, равного нулю, одно из множителей должно быть равно нулю. Рассмотрим два случая:

1. \( a^2 — c^2 = 0 \), что даёт \( a = c \) или \( a = -c \).

2. \( b + c = 0 \), что даёт \( b = -c \).

Рассмотрим первый случай, \( a^2 — c^2 = 0 \):

\( a^2 = c^2 \)

\( a = c \quad \text{или} \quad a = -c \)

Рассмотрим второй случай, \( b + c = 0 \):

\( b = -c \)

Таким образом, возможные решения для уравнения \( a^2(b + c) = c^2(a + b) \) следующие:

1. \( a = c \), и \( b = -c \),

2. \( a = -c \), и \( b = -c \),

3. \( b = -c \) (при \( a = b \)).

Таким образом, мы доказали, что \( a^2(b + c) = c^2(a + b) \), как и требовалось.