ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 15.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \((x + 1)(x — 1) — (x + 5)(x — 5) + (x + 1)(x — 5)\)

2) \(81a^8 — (3a^2 — b^3)(9a^4 + b^6)(3a^2 + b^3)\)

1) \((x + 1)(x — 1) — (x + 5)(x — 5) + (x + 1)(x — 5) =\)
\(= x^2 — 1 — (x^2 — 25) + (x^2 — 5x + x — 5) = x^2 — 1 — x^2 + 25 +\)
\(+ x^2 — 4x — 5 = x^2 — 4x + 19;\)

2) \(81a^8 — (3a^2 — b^3)(9a^4 + b^6)(3a^2 + b^3) = 81a^8 — (9a^4 — b^6) \cdot\)
\(\cdot (9a^4 + b^6) = 81a^8 — 81a^8 + b^{12} = b^{12}.\)

1) \((x + 1)(x — 1) — (x + 5)(x — 5) + (x + 1)(x — 5)\)

Для начала применим формулу разности квадратов:

\((x + 1)(x — 1) = x^2 — 1\)

\((x + 5)(x — 5) = x^2 — 25\)

\((x + 1)(x — 5) = x^2 — 5x + x — 5 = x^2 — 4x — 5\)

Теперь подставим полученные выражения в исходное:

\(x^2 — 1 — (x^2 — 25) + (x^2 — 4x — 5)\)

Раскроем скобки и упростим:

\(x^2 — 1 — x^2 + 25 + x^2 — 4x — 5\)

Теперь соберем подобные члены:

Члены с \(x^2\): \(x^2 — x^2 + x^2 = x^2\)

Члены с \(x\): \(-4x\)

Постоянные члены: \(-1 + 25 — 5 = 19\)

Итак, выражение упрощается до:

\(x^2 — 4x + 19\)

2) \(81a^8 — (3a^2 — b^3)(9a^4 + b^6)(3a^2 + b^3)\)

Для начала раскроем скобки. Обратим внимание, что выражение \((3a^2 — b^3)(3a^2 + b^3)\) является разностью квадратов:

\((3a^2 — b^3)(3a^2 + b^3) = (3a^2)^2 — (b^3)^2 = 9a^4 — b^6\)

Подставим это в исходное выражение:

\(81a^8 — (9a^4 — b^6)(9a^4 + b^6)\)

Теперь снова применим формулу разности квадратов:

\((9a^4 — b^6)(9a^4 + b^6) = (9a^4)^2 — (b^6)^2 = 81a^8 — b^{12}\)

Подставляем полученное выражение обратно в исходное:

\(81a^8 — (81a^8 — b^{12})\)

Раскроем скобки:

\(81a^8 — 81a^8 + b^{12}\)

Теперь видим, что \(81a^8 — 81a^8 = 0\), и остаемся с выражением:

\(b^{12}\)

Итак, результат упрощения второго выражения:

\(b^{12}\)