ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 15.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (7n + 8)(7n — 8) — (5n + 10)(5n — 10) делится нацело на 12.

\((7n + 8)(7n — 8) — (5n + 10)(5n — 10) = 49n^2 — 64 — (25n^2 — 100) =\)

\(= 49n^2 — 64 — 25n^2 + 100 = 24n^2 + 36 = 12(2n^2 + 3) \to\) делится нацело на 12, так как \(12 : 12\).

Для доказательства того, что выражение \((7n+8)(7n-8)-(5n+10)(5n-10)\) делится нацело на 12 при любом натуральном \(n\), разберем его пошагово.

Итак, начнем с первого произведения:

\((7n+8)(7n-8)\)

Это выражение является разностью квадратов, так как имеет вид \((a + b)(a — b) = a^2 — b^2\), где \(a = 7n\), а \(b = 8\). Применим формулу разности квадратов:

\((7n+8)(7n-8) = (7n)^2 — 8^2 = 49n^2 — 64\)

Теперь перейдем ко второму произведению:

\((5n+10)(5n-10)\)

Это также разность квадратов, так как \((a + b)(a — b) = a^2 — b^2\), где \(a = 5n\), а \(b = 10\). Применим формулу разности квадратов:

\((5n+10)(5n-10) = (5n)^2 — 10^2 = 25n^2 — 100\)

Теперь подставим оба результата в исходное выражение:

\((7n + 8)(7n — 8) — (5n + 10)(5n — 10) = 49n^2 — 64 — (25n^2 — 100)\)

Раскроем скобки, следя за знаками:

\(49n^2 — 64 — 25n^2 + 100\)

Теперь соберем подобные члены:

\(49n^2 — 25n^2 = 24n^2\)

\(-64 + 100 = 36\)

Итак, выражение упрощается до:

\(24n^2 + 36\)

Теперь факторизуем полученное выражение:

\(24n^2 + 36 = 12(2n^2 + 3)\)

Мы видим, что выражение \(12(2n^2 + 3)\) делится на 12 при любом значении \(n\), так как в нем есть множитель 12.

Следовательно, выражение \((7n+8)(7n-8)-(5n+10)(5n-10)\) делится нацело на 12 при любом натуральном \(n\).

Ответ: да, выражение делится нацело на 12 при любом натуральном \(n\).