ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 15.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (9n — 4)(9n + 4) — (8n — 2)(4n + 3) + 5(6n + 9) делится нацело на 7.

\((9n — 4)(9n + 4) — (8n — 2)(4n + 3) + 5(6n + 9) =\)
\(= 81n^2 — 16 — (32n^2 + 24n — 8n — 6) + 30n + 45 =\)
\(= 81n^2 — 16 — 32n^2 — 16n + 6 + 30n + 45 = 49n^2 + 14n + 35 =\)
\(= 7(7n^2 + 2n + 5) \to\) делится нацело на 7, так как \(7 : 7\).

Задача: доказать, что при любом натуральном \(n\) значение выражения \((9n-4)(9n+4)-(8n-2)(4n+3)+5(6n+9)\) делится нацело на 7.

Рассмотрим выражение шаг за шагом и упростим его:

1) \((9n — 4)(9n + 4)\)

Это выражение является разностью квадратов, так как имеет вид \((a — b)(a + b) = a^2 — b^2\), где \(a = 9n\), а \(b = 4\). Применим формулу разности квадратов:

\((9n — 4)(9n + 4) = (9n)^2 — 4^2 = 81n^2 — 16\)

2) \((8n — 2)(4n + 3)\)

Теперь раскроем скобки в этом произведении:

\((8n — 2)(4n + 3) = 8n \cdot 4n + 8n \cdot 3 — 2 \cdot 4n — 2 \cdot 3 =\)

\(= 32n^2 + 24n — 8n — 6\)

Упростим:

\(32n^2 + 16n — 6\)

3) \(5(6n + 9)\)

Теперь раскроем скобки в этом выражении:

\(5(6n + 9) = 30n + 45\)

Теперь подставим все эти выражения в исходное уравнение:

\((9n — 4)(9n + 4) — (8n — 2)(4n + 3) + 5(6n + 9) =\)

\(= 81n^2 — 16 — (32n^2 + 16n — 6) + 30n + 45\)

Раскроем скобки и упростим:

\(81n^2 — 16 — 32n^2 — 16n + 6 + 30n + 45\)

Теперь соберем подобные члены:

Члены с \(n^2\): \(81n^2 — 32n^2 = 49n^2\)

Члены с \(n\): \(-16n + 30n = 14n\)

Постоянные члены: \(-16 + 6 + 45 = 35\)

Итак, выражение упрощается до:

\(49n^2 + 14n + 35\)

Теперь заметим, что это выражение можно факторизовать:

\(49n^2 + 14n + 35 = 7(7n^2 + 2n + 5)\)

Так как выражение имеет множитель 7, оно всегда делится на 7 при любом значении \(n\).

Таким образом, мы доказали, что значение выражения \((9n-4)(9n+4)-(8n-2)(4n+3)+5(6n+9)\) делится нацело на 7 при любом натуральном \(n\).

Ответ: выражение делится нацело на 7 при любом натуральном \(n\).