ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 15.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Чему равно значение выражения:

1) \(81^{15} \cdot 8^{20} — (6^{30} + 1)(6^{30} — 1)\)

2) \(5^{24} — (5^3 — 2)(5^3 + 2)(5^6 + 4)(5^{12} + 16)\)

1) \(81^{15} \cdot 8^{20} — (6^{30} + 1)(6^{30} — 1) = (3^4)^{15} \cdot (2^3)^{20} — (6^{60} — 1) =\)
\(= 3^{60} \cdot 2^{60} — 6^{60} + 1 = (3 \cdot 2)^{60} — 6^{60} + 1 = 6^{60} — 6^{60} + 1 = 1;\)

2) \(5^{24} — (5^3 — 2)(5^3 + 2)(5^6 + 4)(5^{12} + 16) = 5^{24} -\)
\(- (5^6 — 4)(5^6 + 4)(5^{12} + 16) = 5^{24} — (5^{12} — 16)(5^{12} + 16) =\)
\(= 5^{24} — (5^{24} — 256) = 5^{24} — 5^{24} + 256 = 256.\)

1) \(81^{15} \cdot 8^{20} — (6^{30} + 1)(6^{30} — 1)\)

Начнем с первого произведения: \(81^{15} \cdot 8^{20}\). Мы можем записать \(81^{15}\) как \((3^4)^{15} = 3^{60}\), а \(8^{20}\) как \((2^3)^{20} = 2^{60}\). Тогда выражение можно записать как:

\(3^{60} \cdot 2^{60}\)

Теперь рассмотрим разность квадратов во втором выражении \((6^{30} + 1)(6^{30} — 1)\), так как это выражение имеет вид \((a + b)(a — b) = a^2 — b^2\), где \(a = 6^{30}\), а \(b = 1\). Применим формулу разности квадратов:

\((6^{30} + 1)(6^{30} — 1) = (6^{30})^2 — 1^2 = 6^{60} — 1\)

Теперь подставим все это в исходное выражение:

\(3^{60} \cdot 2^{60} — (6^{60} — 1)\)

Раскроем скобки:

\(3^{60} \cdot 2^{60} — 6^{60} + 1\)

Теперь заметим, что \(3^{60} \cdot 2^{60} = (3 \cdot 2)^{60} = 6^{60}\), таким образом выражение упрощается до:

\(6^{60} — 6^{60} + 1\)

Видим, что \(6^{60} — 6^{60} = 0\), и остаемся с результатом:

1

Таким образом, результат этого выражения равен 1.

2) \(5^{24} — (5^3 — 2)(5^3 + 2)(5^6 + 4)(5^{12} + 16)\)

Теперь рассмотрим выражение \((5^3 — 2)(5^3 + 2)\). Это выражение является разностью квадратов, так как имеет вид \((a — b)(a + b) = a^2 — b^2\), где \(a = 5^3\), а \(b = 2\). Применим формулу разности квадратов:

\((5^3 — 2)(5^3 + 2) = (5^3)^2 — 2^2 = 5^6 — 4\)

Теперь рассмотрим вторую часть выражения \((5^6 + 4)\) и третью часть \((5^{12} + 16)\), которые остаются без изменений, так что теперь наше выражение выглядит так:

\(5^{24} — (5^6 — 4)(5^6 + 4)(5^{12} + 16)\)

Теперь подставим полученную разность квадратов \((5^6 — 4)(5^6 + 4)\) как \(5^{12} — 16\), и получим:

\(5^{24} — (5^{12} — 16)(5^{12} + 16)\)

Теперь снова применим формулу разности квадратов к выражению \((5^{12} — 16)(5^{12} + 16)\):

\((5^{12})^2 — 16^2 = 5^{24} — 256\)

Теперь подставим это в исходное выражение:

\(5^{24} — (5^{24} — 256)\)

Раскроем скобки:

\(5^{24} — 5^{24} + 256\)

Видим, что \(5^{24} — 5^{24} = 0\), и остаемся с результатом:

256

Таким образом, результат этого выражения равен 256.