ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 15.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сравните значения выражений, не вычисляя их:

1) \( 415 \cdot 425 \) и \( 426 \cdot 414 \)

2) \( 1\,234\,567 \cdot 1\,234\,569 \) и \( 1\,234\,568^2\)

1) \( 415 \cdot 425 \) и \( 426 \cdot 414. \)

a) \( 415 \cdot 425 = (420 — 5)(420 + 5) = 420^2 — 25. \)

б) \( 426 \cdot 414 = (420 + 6)(420 — 6) = 420^2 — 36. \)

Тогда, \( 420^2 — 25 > 420^2 — 36. \)

Следовательно, \( 415 \cdot 425 > 426 \cdot 414. \)

2) \( 1\,234\,567 \cdot 1\,234\,569 \) и \( 1\,234\,568^2. \)

a) \( 1\,234\,567 \cdot 1\,234\,569 = (1\,234\,568 — 1)(1\,234\,568 + 1) =\)

\(= 1\,234\,568^2 — 1. \)

Тогда, \( 1\,234\,568^2 — 1 < 1\,234\,568^2. \)

Следовательно, \( 1\,234\,567 \cdot 1\,234\,569 < 1\,234\,568^2. \)

1) Сравнение \( 415 \cdot 425 \) и \( 426 \cdot 414 \):

Рассмотрим произведения \( 415 \cdot 425 \) и \( 426 \cdot 414 \) и применим разложение на разности квадратов для каждого из них.

Начнем с выражения \( 415 \cdot 425 \). Мы можем представить его в виде разности квадратов:

\( 415 \cdot 425 = (420 — 5)(420 + 5). \)

Используя формулу разности квадратов \( (a — b)(a + b) = a^2 — b^2 \), получаем:

\( 415 \cdot 425 = 420^2 — 5^2 = 420^2 — 25. \)

Теперь рассмотрим выражение \( 426 \cdot 414 \). Аналогично, его можно представить как разность квадратов:

\( 426 \cdot 414 = (420 + 6)(420 — 6). \)

Применяя формулу разности квадратов, получаем:

\( 426 \cdot 414 = 420^2 — 6^2 = 420^2 — 36. \)

Теперь сравним полученные выражения:

\( 420^2 — 25 \) и \( 420^2 — 36. \)

Очевидно, что \( 420^2 — 25 > 420^2 — 36 \), так как \( 25 < 36 \).

Следовательно, \( 415 \cdot 425 > 426 \cdot 414. \)

2) Сравнение \( 1\,234\,567 \cdot 1\,234\,569 \) и \( 1\,234\,568^2 \):

Теперь рассмотрим произведения \( 1\,234\,567 \cdot 1\,234\,569 \) и \( 1\,234\,568^2 \). Для этого опять воспользуемся разложением на разности квадратов.

Начнем с выражения \( 1\,234\,567 \cdot 1\,234\,569 \). Мы можем представить его в виде разности квадратов:

\( 1\,234\,567 \cdot 1\,234\,569 = (1\,234\,568 — 1)(1\,234\,568 + 1). \)

Используя формулу разности квадратов, получаем:

\( 1\,234\,567 \cdot 1\,234\,569 = 1\,234\,568^2 — 1^2 = 1\,234\,568^2 — 1. \)

Теперь сравним \( 1\,234\,568^2 — 1 \) и \( 1\,234\,568^2 \). Очевидно, что:

\( 1\,234\,568^2 — 1 < 1\,234\,568^2, \) так как \( -1 \) уменьшает значение.

Следовательно, \( 1\,234\,567 \cdot 1\,234\,569 < 1\,234\,568^2. \)

Общий вывод:

• \( 415 \cdot 425 > 426 \cdot 414 \),
• \( 1\,234\,567 \cdot 1\,234\,569 < 1\,234\,568^2. \)