ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 15.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что a = b + 1. Упростите выражение:

\( (a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)(a^8 + b^8)(a^{16} + b^{16})(a^{32} + b^{32}) \).

Известно, что \( a = b + 1 \Longrightarrow a — b = 1 \), тогда:

\( (a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)(a^8 + b^8)(a^{16} + b^{16})(a^{32} + b^{32}) = \)

\( = \frac{(a — b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)(a^8 + b^8)(a^{16} + b^{16})(a^{32} + b^{32})}{a — b} = \)

\( = \frac{(a^2 — b^2)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)(a^8 + b^8)(a^{16} + b^{16})(a^{32} + b^{32})}{1} = \)

\( = (a^4 — b^4)(a^4 + b^4)(a^8 + b^8)(a^{16} + b^{16})(a^{32} + b^{32}) = \)

\( = (a^8 — b^8)(a^8 + b^8)(a^{16} + b^{16})(a^{32} + b^{32}) = \)

\( = (a^{16} — b^{16})(a^{16} + b^{16})(a^{32} + b^{32}) = (a^{32} — b^{32})(a^{32} + b^{32}) = \)

\( = a^{64} — b^{64}. \)

Дано, что \( a = b + 1 \). Необходимо упростить выражение:

\( (a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)(a^8 + b^8)(a^{16} + b^{16})(a^{32} + b^{32}) \)

Шаг 1: Применение данное условие \( a = b + 1 \).

Из условия \( a = b + 1 \) мы знаем, что разница \( a — b = 1 \). Это знание поможет нам упростить выражение. Заменим \( a \) на \( b + 1 \) в выражении.

Шаг 2: Разложение на множители.

Начнем с того, что разложим произведение на множители, начиная с самого левого:

\( (a + b) = (b + 1 + b) = 2b + 1 \)

Теперь у нас есть множитель \( (a + b) = 2b + 1 \), который можно использовать для дальнейших преобразований.

Шаг 3: Применение разности квадратов.

Заменим каждый из множителей с четными степенями на разность квадратов, применяя формулу \( (x^2 — y^2) = (x — y)(x + y) \). Таким образом, для каждого множителя типа \( a^n + b^n \), где \( n \) — степень, мы можем применить эту формулу:

\( a^2 + b^2 = (a — b)(a + b) = 1 \cdot (a + b) = a + b \)

\( a^4 + b^4 = (a^2 — b^2)(a^2 + b^2) \)

Шаг 4: Упрощение выражения.

Теперь, зная, что \( a — b = 1 \), мы можем упростить выражение. Подставляем найденные значения в исходное выражение:

\( (a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)(a^8 + b^8)(a^{16} + b^{16})(a^{32} + b^{32}) = \)

\( = \frac{(a — b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)(a^8 + b^8)(a^{16} + b^{16})(a^{32} + b^{32})}{a — b} = \)

Так как \( a — b = 1 \), можно просто убрать дробь, что приводит к:

\( = (a^2 — b^2)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)(a^8 + b^8)(a^{16} + b^{16})(a^{32} + b^{32}) \)

Шаг 5: Упрощение каждого множителя.

Теперь продолжаем применять разность квадратов для каждого множителя:

\( (a^2 — b^2) = (a — b)(a + b) = 1 \cdot (a + b) = a + b \)

\( (a^4 — b^4) = (a^2 — b^2)(a^2 + b^2) \)

\( (a^8 — b^8) = (a^4 — b^4)(a^4 + b^4) \)

\( (a^{16} — b^{16}) = (a^8 — b^8)(a^8 + b^8) \)

\( (a^{32} — b^{32}) = (a^{16} — b^{16})(a^{16} + b^{16}) \)

Шаг 6: Заключение.

После упрощений мы получаем следующее:

\( = (a^{64} — b^{64}). \)

Итак, исходное выражение, после применения всех преобразований и упрощений, сводится к выражению \( a^{64} — b^{64} \).