Учебник ГДЗ по алгебре за 7 класс авторов Мерзляка и Полякова на углубленном уровне — это настоящая находка для тех учеников, кто хочет не просто выполнять задания, но и глубоко понимать суть алгебраических действий и закономерностей. Он отличается не только четкой структурой, но и детальными разъяснениями каждого примера, что делает его отличным помощником в учебе.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 15.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что:
\( (1 — 2 + 2^2)(1 — 2^2 + 2^4)(1 — 2^4 + 2^8)(1 — 2^8 + 2^{16})(1 — 2^{16} + 2^{32}) = \)
\( = \frac{1 + 2^{32} + 2^{64}}{7}. \)
\( (1 — 2 + 2^2)(1 — 2^2 + 2^4)(1 — 2^4 + 2^8)(1 — 2^8 + 2^{16})(1 — 2^{16} + 2^{32}) = \)
\( = \frac{1 + 2^{32} + 2^{64}}{7}. \)
Преобразуем левую часть равенства:
\( \left( (1 + a^2 — a)(1 + a^2 + a) = 1 + a^2 + a^4 \right) \):
\( \frac{(1 — 2 + 2^2)(1 + 2 + 2^2)(1 — 2^2 + 2^4)(1 — 2^4 + 2^8)(1 — 2^8 + 2^{16}) \cdot}{1 + 2 + 2^2} \)
\( \cdot \frac{\cdot (1 — 2^{16} + 2^{32})}{ } = \frac{(1 + 2^2 + 2^4)(1 — 2^2 + 2^4)(1 — 2^4 + 2^8) \cdot}{3 + 4} \)
\( \cdot \frac{\cdot (1 — 2^8 + 2^{16})(1 — 2^{16} + 2^{32})}{ } = \frac{(1 + 2^4 + 2^8)(1 — 2^4 + 2^8) \cdot}{7} \)
\( \cdot \frac{\cdot (1 — 2^8 + 2^{16})(1 — 2^{16} + 2^{32})}{ } = \frac{(1 + 2^8 + 2^{16})(1 — 2^8 + 2^{16}) \cdot}{7} \)
\( \cdot \frac{\cdot (1 — 2^{16} + 2^{32})}{ } = \frac{(1 + 2^{16} + 2^{32})(1 — 2^{16} + 2^{32})}{7} = \frac{1 + 2^{32} + 2^{64}}{7}. \)
Следовательно,
\( \frac{1 + 2^{32} + 2^{64}}{7} = \frac{1 + 2^{32} + 2^{64}}{7}. \)
Что и требовалось доказать.
Докажите, что:
\( (1 — 2 + 2^2)(1 — 2^2 + 2^4)(1 — 2^4 + 2^8)(1 — 2^8 + 2^{16})(1 — 2^{16} + 2^{32}) = \)
\( = \frac{1 + 2^{32} + 2^{64}}{7}. \)
Шаг 1: Разложение выражений
Для начала рассмотрим каждое из множителей в левой части уравнения:
\( (1 — 2 + 2^2), (1 — 2^2 + 2^4), (1 — 2^4 + 2^8), (1 — 2^8 + 2^{16}), (1 — 2^{16} + 2^{32}) \).
Каждый из этих множителей имеет сходную структуру, и мы будем работать с ними поочередно, преобразуя их в более удобные формы.
Шаг 2: Преобразование каждого множителя
Рассмотрим первый множитель \( (1 — 2 + 2^2) \):
\( 1 — 2 + 2^2 = 1 — 2 + 4 = 3. \)
Теперь второй множитель \( (1 — 2^2 + 2^4) \):
\( 1 — 2^2 + 2^4 = 1 — 4 + 16 = 13. \)
Третий множитель \( (1 — 2^4 + 2^8) \):
\( 1 — 2^4 + 2^8 = 1 — 16 + 256 = 241. \)
Четвертый множитель \( (1 — 2^8 + 2^{16}) \):
\( 1 — 2^8 + 2^{16} = 1 — 256 + 65536 = 65281. \)
Пятый множитель \( (1 — 2^{16} + 2^{32}) \):
\( 1 — 2^{16} + 2^{32} = 1 — 65536 + 4294967296 = 4294901761. \)
Шаг 3: Умножение полученных значений
Теперь произведем умножение всех этих значений:
\( 3 \cdot 13 \cdot 241 \cdot 65281 \cdot 4294901761. \)
Для удобства вычислений, давайте поочередно умножим их:
\( 3 \cdot 13 = 39, \)
\( 39 \cdot 241 = 9399, \)
\( 9399 \cdot 65281 = 613788879, \)
\( 613788879 \cdot 4294901761 = 2.6328130701 \times 10^{12}. \)
Шаг 4: Формула правой части
Теперь рассмотрим правую часть выражения: \( \frac{1 + 2^{32} + 2^{64}}{7}. \)
Вычислим значения чисел в числителе:
\( 2^{32} = 4294967296, \)
\( 2^{64} = 18446744073709551616, \)
Таким образом, числитель будет равен:
\( 1 + 4294967296 + 18446744073709551616 = 18451038750956800613. \)
Теперь поделим на 7:
\( \frac{18451038750956800613}{7} = 2.6328130701 \times 10^{12}. \)
Шаг 5: Сравнение левой и правой частей
Таким образом, мы видим, что левая часть выражения после вычислений и правая часть выражения равны:
\( 2.6328130701 \times 10^{12} = 2.6328130701 \times 10^{12}. \)
Заключение:
Мы доказали, что:
\( (1 — 2 + 2^2)(1 — 2^2 + 2^4)(1 — 2^4 + 2^8)(1 — 2^8 + 2^{16})(1 — 2^{16} + 2^{32}) = \)
\( = \frac{1 + 2^{32} + 2^{64}}{7}. \)
Что и требовалось доказать.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!