ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 15.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Выполните умножение:

1) \( (x^3 + 4)(x^3 — 4) \)

2) \( (ab — c)(ab + c) \)

3) \( (x — y^2)(y^2 + x) \)

4) \( (3m^2 — 2c)(3m^2 + 2c) \)

5) \( (6a^3 — 8b)(6a^3 + 8b) \)

6) \( (5n^4 — m^4)(5n^4 + m^4) \)

7) \( (0,2m^8 — 0,8n^6)(0,2m^8 + 0,8n^6) \)

8) \( \left(\frac{2}{7}p^7 + \frac{4}{11}k^9\right)\left(\frac{4}{11}k^9 — \frac{2}{7}p^7\right) \)

1) \( (x^3 + 4)(x^3 — 4) = (x^3)^2 — 4^2 = x^6 — 16; \)

2) \( (ab — c)(ab + c) = (ab)^2 — c^2 = a^2b^2 — c^2; \)

3) \( (x — y^2)(y^2 + x) = (x — y^2)(x + y^2) = x^2 — (y^2)^2 = x^2 — y^4; \)

4) \( (3m^2 — 2c)(3m^2 + 2c) = (3m^2)^2 — (2c)^2 = 9m^4 — 4c^2; \)

5) \( (6a^3 — 8b)(6a^3 + 8b) = (6a^3)^2 — (8b)^2 = 36a^6 — 64b^2; \)

6) \( (5n^4 — m^4)(5n^4 + m^4) = (5n^4)^2 — (m^4)^2 = 25n^8 — m^8; \)

7) \( (0,2m^8 — 0,8n^6)(0,2m^8 + 0,8n^6) = (0,2m^8)^2 — (0,8n^6)^2 =\)

\(=0,04m^{16} — 0,64n^{12}; \)

8) \( \left(\frac{2}{7}p^7 + \frac{4}{11}k^9\right)\left(\frac{4}{11}k^9 — \frac{2}{7}p^7\right) = \left(\frac{4}{11}k^9 + \frac{2}{7}p^7\right)\left(\frac{4}{11}k^9 — \frac{2}{7}p^7\right) = \)
\( = \left(\frac{4}{11}k^9\right)^2 — \left(\frac{2}{7}p^7\right)^2 = \frac{16}{121}k^{18} — \frac{4}{49}p^{14}. \)

1) \( (x^3 + 4)(x^3 — 4) \)

Мы видим выражение в виде произведения двух двучленов. Это классическая формула разности квадратов:
\( (a + b)(a — b) = a^2 — b^2 \)
Применим эту формулу к нашему выражению, где \( a = x^3 \) и \( b = 4 \):
\( (x^3 + 4)(x^3 — 4) = (x^3)^2 — 4^2 = x^6 — 16 \)
Ответ: \( x^6 — 16 \).

2) \( (ab — c)(ab + c) \)

Так же, как и в предыдущем примере, это разность квадратов:
\( (a + b)(a — b) = a^2 — b^2 \)
Здесь \( a = ab \) и \( b = c \), подставим это в формулу:
\( (ab — c)(ab + c) = (ab)^2 — c^2 = a^2b^2 — c^2 \)
Ответ: \( a^2b^2 — c^2 \).

3) \( (x — y^2)(y^2 + x) \)

Начнем с раскрытия скобок:
\( (x — y^2)(y^2 + x) = x(y^2 + x) — y^2(y^2 + x) \)
Теперь раскроем каждую скобку:
\( x(y^2 + x) = xy^2 + x^2 \)
\( -y^2(y^2 + x) = -y^4 — xy^2 \)
Сложим все результаты:
\( xy^2 + x^2 — y^4 — xy^2 \)
Смотрим на термины \( xy^2 \), они взаимно уничтожаются. Оставшиеся выражения:
\( x^2 — y^4 \)
Ответ: \( x^2 — y^4 \).

4) \( (3m^2 — 2c)(3m^2 + 2c) \)

Это также разность квадратов:
\( (a + b)(a — b) = a^2 — b^2 \)
Здесь \( a = 3m^2 \) и \( b = 2c \), подставим это:
\( (3m^2 — 2c)(3m^2 + 2c) = (3m^2)^2 — (2c)^2 = 9m^4 — 4c^2 \)
Ответ: \( 9m^4 — 4c^2 \).

5) \( (6a^3 — 8b)(6a^3 + 8b) \)

И снова разность квадратов:
\( (a + b)(a — b) = a^2 — b^2 \)
Здесь \( a = 6a^3 \) и \( b = 8b \), подставим:
\( (6a^3 — 8b)(6a^3 + 8b) = (6a^3)^2 — (8b)^2 = 36a^6 — 64b^2 \)
Ответ: \( 36a^6 — 64b^2 \).

6) \( (5n^4 — m^4)(5n^4 + m^4) \)

Опять же разность квадратов:
\( (a + b)(a — b) = a^2 — b^2 \)
Здесь \( a = 5n^4 \) и \( b = m^4 \), подставим:
\( (5n^4 — m^4)(5n^4 + m^4) = (5n^4)^2 — (m^4)^2 = 25n^8 — m^8 \)
Ответ: \( 25n^8 — m^8 \).

7) \( (0,2m^8 — 0,8n^6)(0,2m^8 + 0,8n^6) \)

Это разность квадратов:
\( (a + b)(a — b) = a^2 — b^2 \)
Здесь \( a = 0,2m^8 \) и \( b = 0,8n^6 \), подставим:
\( (0,2m^8 — 0,8n^6)(0,2m^8 + 0,8n^6) = (0,2m^8)^2 — (0,8n^6)^2 \)
Вычислим каждую часть:
\( (0,2m^8)^2 = 0,04m^{16}, \quad (0,8n^6)^2 = 0,64n^{12} \)
Таким образом:
\( 0,04m^{16} — 0,64n^{12} \)
Ответ: \( 0,04m^{16} — 0,64n^{12} \).

8) \( \left(\frac{2}{7}p^7 + \frac{4}{11}k^9\right)\left(\frac{4}{11}k^9 — \frac{2}{7}p^7\right) \)

Это произведение суммы и разности, что опять дает разность квадратов:
\( (a + b)(a — b) = a^2 — b^2 \)
Здесь \( a = \frac{4}{11}k^9 \) и \( b = \frac{2}{7}p^7 \), подставим:
\( \left(\frac{2}{7}p^7 + \frac{4}{11}k^9\right)\left(\frac{4}{11}k^9 — \frac{2}{7}p^7\right) = \left(\frac{4}{11}k^9\right)^2 — \left(\frac{2}{7}p^7\right)^2 \)
Теперь вычислим каждую часть:
\( \left(\frac{4}{11}k^9\right)^2 = \frac{16}{121}k^{18}, \quad \left(\frac{2}{7}p^7\right)^2 = \frac{4}{49}p^{14} \)
Итак:
\( \frac{16}{121}k^{18} — \frac{4}{49}p^{14} \)
Ответ: \( \frac{16}{121}k^{18} — \frac{4}{49}p^{14} \).