ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 15.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( (2a — b)(2a + b) + b^2 \)

2) \( 10x^2 + (y — 5x)(y + 5x)  \)

3) \( 64m^2 — (8m + 9)(8m — 9)  \)

4) \( (4x — 7y)(4x + 7y) + (7x — 4y)(7x + 4y)  \)

5) \( (a — 2)(a + 3) + (6 — a)(a + 6) \)

6) \( 3a(a — b) — (3a + 2b)(3a — 2b)  \)

1) \( (2a — b)(2a + b) + b^2 = 4a^2 — b^2 + b^2 = 4a^2; \)

2) \( 10x^2 + (y — 5x)(y + 5x) = 10x^2 + y^2 — 25x^2 = y^2 — 15x^2; \)

3) \( 64m^2 — (8m + 9)(8m — 9) = 64m^2 — (64m^2 — 81) = \)
\( = 64m^2 — 64m^2 + 81 = 81; \)

4) \( (4x — 7y)(4x + 7y) + (7x — 4y)(7x + 4y) = 16x^2 — 49y^2 + \)
\( + 49x^2 — 16y^2 = 65x^2 — 65y^2; \)

5) \( (a — 2)(a + 3) + (6 — a)(a + 6) = a^2 + 3a — 2a — 6 + \)
\( + (6 — a)(6 + a) = a^2 + a — 6 + 36 — a^2 = a + 30; \)

6) \( 3a(a — b) — (3a + 2b)(3a — 2b) = 3a^2 — 3ab — (9a^2 — 4b^2) = \)
\( = 3a^2 — 3ab — 9a^2 + 4b^2 = 4b^2 — 3ab — 6a^2. \)

1) \( (2a — b)(2a + b) + b^2 \)

Это выражение можно упростить с использованием формулы разности квадратов:
\( (a — b)(a + b) = a^2 — b^2 \)
Таким образом, первый множитель \( (2a — b)(2a + b) \) преобразуется в:
\( (2a)^2 — b^2 = 4a^2 — b^2 \)
Теперь добавляем \( b^2 \) к полученному результату:
\( 4a^2 — b^2 + b^2 = 4a^2 \)
Ответ: \( 4a^2 \).

2) \( 10x^2 + (y — 5x)(y + 5x) \)

Применим формулу разности квадратов для второго множителя:
\( (a — b)(a + b) = a^2 — b^2 \)
Здесь \( a = y \), а \( b = 5x \), так что:
\( (y — 5x)(y + 5x) = y^2 — (5x)^2 = y^2 — 25x^2 \)
Теперь подставим в исходное выражение:
\( 10x^2 + y^2 — 25x^2 = y^2 — 15x^2 \)
Ответ: \( y^2 — 15x^2 \).

3) \( 64m^2 — (8m + 9)(8m — 9) \)

Опять применим формулу разности квадратов:
\( (a — b)(a + b) = a^2 — b^2 \)
Здесь \( a = 8m \) и \( b = 9 \), так что:
\( (8m + 9)(8m — 9) = (8m)^2 — 9^2 = 64m^2 — 81 \)
Теперь подставим в исходное выражение:
\( 64m^2 — (64m^2 — 81) = 64m^2 — 64m^2 + 81 = 81 \)
Ответ: \( 81 \).

4) \( (4x — 7y)(4x + 7y) + (7x — 4y)(7x + 4y) \)

Применяем формулу разности квадратов к каждому из множителей:
\( (4x — 7y)(4x + 7y) = (4x)^2 — (7y)^2 = 16x^2 — 49y^2 \)
\( (7x — 4y)(7x + 4y) = (7x)^2 — (4y)^2 = 49x^2 — 16y^2 \)
Теперь сложим оба выражения:
\( 16x^2 — 49y^2 + 49x^2 — 16y^2 = 65x^2 — 65y^2 \)
Ответ: \( 65x^2 — 65y^2 \).

5) \( (a — 2)(a + 3) + (6 — a)(a + 6) \)

Начнем с раскрытия скобок:
\( (a — 2)(a + 3) = a^2 + 3a — 2a — 6 = a^2 + a — 6 \)
\( (6 — a)(a + 6) = 6^2 — a^2 = 36 — a^2 \)
Теперь сложим полученные выражения:
\( a^2 + a — 6 + 36 — a^2 = a + 30 \)
Ответ: \( a + 30 \).

6) \( 3a(a — b) — (3a + 2b)(3a — 2b) \)

Начнем с раскрытия скобок:
\( 3a(a — b) = 3a^2 — 3ab \)
Теперь используем формулу разности квадратов для второго множителя:
\( (3a + 2b)(3a — 2b) = (3a)^2 — (2b)^2 = 9a^2 — 4b^2 \)
Теперь подставим все в исходное выражение:
\( 3a^2 — 3ab — (9a^2 — 4b^2) = 3a^2 — 3ab — 9a^2 + 4b^2 \)
Сложим все термины:
\( (3a^2 — 9a^2) + 4b^2 — 3ab = -6a^2 — 3ab + 4b^2 \)
Ответ: \( 4b^2 — 3ab — 6a^2 \).