ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 15.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( (9a — 2)(9a + 2) — 18a^2 \)

2) \( 25m^2 — (5m — 7)(5m + 7) \)

3) \( (b + 7)(b — 4) + (2b — 6)(2b + 6) \)

4) \( 4x(3x — 10y) — (4x + y)(4x — y) \)

1) \( (9a — 2)(9a + 2) — 18a^2 = 81a^2 — 4 — 18a^2 = 63a^2 — 4; \)

2) \( 25m^2 — (5m — 7)(5m + 7) = 25m^2 — (25m^2 — 49) = \)
\( = 25m^2 — 25m^2 + 49 = 49; \)

3) \( (b + 7)(b — 4) + (2b — 6)(2b + 6) = b^2 — 4b + 7b — 28 + \)
\( + 4b^2 — 36 = 5b^2 + 3b — 64; \)

4) \( 4x(3x — 10y) — (4x + y)(4x — y) = 12x^2 — 40xy — (16x^2 — y^2) = \)
\( = 12x^2 — 40xy — 16x^2 + y^2 = y^2 — 40xy — 4x^2. \)

1) \( (9a — 2)(9a + 2) — 18a^2 \)

Для начала применим формулу разности квадратов:
\( (a — b)(a + b) = a^2 — b^2 \)
Здесь \( a = 9a \) и \( b = 2 \), подставляем в формулу:
\( (9a — 2)(9a + 2) = (9a)^2 — 2^2 = 81a^2 — 4 \)
Теперь вычитаем \( 18a^2 \) из полученного выражения:
\( 81a^2 — 4 — 18a^2 = (81a^2 — 18a^2) — 4 = 63a^2 — 4 \)
Ответ: \( 63a^2 — 4 \).

2) \( 25m^2 — (5m — 7)(5m + 7) \)

Снова применяем формулу разности квадратов:
\( (a — b)(a + b) = a^2 — b^2 \)
Здесь \( a = 5m \) и \( b = 7 \), подставляем:
\( (5m — 7)(5m + 7) = (5m)^2 — 7^2 = 25m^2 — 49 \)
Теперь подставляем в исходное выражение:
\( 25m^2 — (25m^2 — 49) = 25m^2 — 25m^2 + 49 \)
Убираем одинаковые термины:
\( 25m^2 — 25m^2 = 0 \)
Остался только \( 49 \):
Ответ: \( 49 \).

3) \( (b + 7)(b — 4) + (2b — 6)(2b + 6) \)

Для первого множителя раскроем скобки:
\( (b + 7)(b — 4) = b^2 — 4b + 7b — 28 = b^2 + 3b — 28 \)
Теперь для второго множителя используем формулу разности квадратов:
\( (a — b)(a + b) = a^2 — b^2 \)
Здесь \( a = 2b \) и \( b = 6 \), подставляем:
\( (2b — 6)(2b + 6) = (2b)^2 — 6^2 = 4b^2 — 36 \)
Теперь складываем оба выражения:
\( b^2 + 3b — 28 + 4b^2 — 36 = (b^2 + 4b^2) + 3b + (-28 — 36) \)
Упрощаем:
\( 5b^2 + 3b — 64 \)
Ответ: \( 5b^2 + 3b — 64 \).

4) \( 4x(3x — 10y) — (4x + y)(4x — y) \)

Раскроем первый множитель:
\( 4x(3x — 10y) = 12x^2 — 40xy \)
Теперь для второго множителя используем формулу разности квадратов:
\( (a — b)(a + b) = a^2 — b^2 \)
Здесь \( a = 4x \) и \( b = y \), подставляем:
\( (4x + y)(4x — y) = (4x)^2 — y^2 = 16x^2 — y^2 \)
Теперь подставим все в исходное выражение:
\( 12x^2 — 40xy — (16x^2 — y^2) = 12x^2 — 40xy — 16x^2 + y^2 \)
Упрощаем:
\( (12x^2 — 16x^2) — 40xy + y^2 = -4x^2 — 40xy + y^2 \)
Ответ: \( y^2 — 40xy — 4x^2 \).