ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 15.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На какое выражение надо умножить многочлен \( 7t^4 + 9p^5 \), чтобы произведение было равно многочлену \( 49t^8 — 81p^{10} \)?

\( (7t^4 + 9p^5)(7t^4 — 9p^5) = 49t^8 — 81p^{10}. \)

Ответ: \( 7t^4 — 9p^5. \)

Необходимо найти выражение, на которое нужно умножить многочлен \( 7t^4 + 9p^5 \), чтобы произведение было равно многочлену \( 49t^8 — 81p^{10} \).

Обозначим искомое выражение за \( A \). Мы ищем такое выражение, что:

\( (7t^4 + 9p^5) \cdot A = 49t^8 — 81p^{10}. \)

Для начала разложим произведение. Пусть \( A = \alpha t^4 + \beta p^5 \), где \( \alpha \) и \( \beta \) — это кое-какие коэффициенты, которые нам нужно найти.

Теперь умножим многочлен \( 7t^4 + 9p^5 \) на \( A = \alpha t^4 + \beta p^5 \):

\( (7t^4 + 9p^5) \cdot (\alpha t^4 + \beta p^5) \).

Используем распределительное свойство умножения:

\( 7t^4 \cdot \alpha t^4 + 7t^4 \cdot \beta p^5 + 9p^5 \cdot \alpha t^4 + 9p^5 \cdot \beta p^5. \)

Посчитаем каждое произведение:

• \( 7t^4 \cdot \alpha t^4 = 7\alpha t^8 \),
• \( 7t^4 \cdot \beta p^5 = 7\beta t^4 p^5 \),
• \( 9p^5 \cdot \alpha t^4 = 9\alpha t^4 p^5 \),
• \( 9p^5 \cdot \beta p^5 = 9\beta p^{10} \).

Теперь соберём все эти выражения:

\( 7\alpha t^8 + (7\beta + 9\alpha) t^4 p^5 + 9\beta p^{10}. \)

Сравниваем полученную формулу с выражением, которое нужно получить: \( 49t^8 — 81p^{10} \). Видим, что для совпадения коэффициентов нужно:

• \( 7\alpha = 49 \),
• \( 7\beta + 9\alpha = 0 \),
• \( 9\beta = -81 \).

Решим систему уравнений:

• Из \( 7\alpha = 49 \) получаем \( \alpha = \frac{49}{7} = 7 \),
• Из \( 9\beta = -81 \) получаем \( \beta = \frac{-81}{9} = -9 \),
• Подставляем \( \alpha = 7 \) и \( \beta = -9 \) в уравнение \( 7\beta + 9\alpha = 0 \):

\( 7 \cdot (-9) + 9 \cdot 7 = -63 + 63 = 0 \), что верно.

Таким образом, искомое выражение \( A \) равно:

\( A = 7t^4 — 9p^5. \)