ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 16.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

С помощью рисунка 16.1 докажите формулу разности квадратов двух выражений.

Площадь закрашенной фигуры можно найти двумя способами.

Первый способ:

\( S = a \cdot a — b \cdot b = a^2 — b^2. \)

Второй способ:

\( S = a(a — b) + b(a — b) = (a — b)(a + b). \)

Отсюда следует, что:

\( S = a^2 — b^2 = (a — b)(a + b). \)

Формула разности квадратов двух выражений доказана.

Докажем формулу разности квадратов двух выражений с помощью геометрического рассуждения по рисунку 16.1.

Нужно доказать равенство:

\( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \).

Шаг 1: Рассмотрим квадрат со стороной \( a \).

Его площадь равна площади квадрата, то есть произведению стороны на саму себя:

\( S_{\text{больш}} = a \cdot a = a^2 \).

Шаг 2: Внутри этого квадрата (или в его углу) расположен квадрат со стороной \( b \).

Его площадь:

\( S_{\text{мал}} = b \cdot b = b^2 \).

Шаг 3: Закрашенная фигура на рисунке — это та часть большого квадрата, которая остаётся после того, как из него “убрали” маленький квадрат.

Значит, площадь закрашенной фигуры равна разности площадей:

\( S = S_{\text{больш}} — S_{\text{мал}} = a^2 — b^2 \).

Это первый способ найти площадь закрашенной фигуры.

Шаг 4: Теперь найдём ту же самую площадь другим способом, не вычитая площади квадратов, а разрезая закрашенную фигуру на более простые части.

По рисунку 16.1 закрашенную L-образную фигуру можно представить как сумму двух прямоугольников:

1) прямоугольник, прилегающий к одной стороне,

2) прямоугольник, прилегающий к другой стороне.

Шаг 5: Рассмотрим первый прямоугольник.

Его одна сторона равна \( a \) (он тянется вдоль стороны большого квадрата), а другая равна \( a — b \) (это оставшаяся ширина после вырезания квадрата \( b \)).

Площадь первого прямоугольника:

\( S_1 = a(a — b) \).

Шаг 6: Рассмотрим второй прямоугольник.

Его одна сторона равна \( b \) (он тянется вдоль стороны малого квадрата), а другая тоже равна \( a — b \).

Площадь второго прямоугольника:

\( S_2 = b(a — b) \).

Шаг 7: Площадь всей закрашенной фигуры равна сумме площадей этих двух прямоугольников:

\( S = S_1 + S_2 = a(a — b) + b(a — b) \).

Шаг 8: В полученной сумме вынесем общий множитель \( (a — b) \):

\( a(a — b) + b(a — b) = (a — b)(a + b) \).

Значит, второй способ даёт:

\( S = (a — b)(a + b) \).

Шаг 9: Мы нашли площадь одной и той же закрашенной фигуры двумя способами:

\( S = a^2 — b^2 \)

и

\( S = (a — b)(a + b) \).

Шаг 10: Так как это одна и та же фигура, её площадь одинакова в обоих вычислениях, значит выражения равны:

\( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \).

Формула разности квадратов двух выражений доказана.