ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 16.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Две окружности, радиусы которых равны R и r (R > r), имеют общий центр. Выразите через \( \pi \), R и r площадь фигуры, ограниченной этими окружностями. Вычислите значение полученного выражения при R = 5,1 см, r = 4,9 см.

Имеем:

Нужно найти площадь закрашенной фигуры, тогда:

\( S_{\text{мал}} = \pi r^2 \quad \text{и} \quad S_{\text{бол}} = \pi R^2 ⇒ S_{\text{закр}} = \pi R^2 — \pi r^2 = \pi (R^2 — r^2). \)

Вычислим значение полученного выражения при \( R = 5,1 \) см и \( r = 4,9 \) см:

\( S_{\text{закр}} = \pi (R^2 — r^2) = \pi (R — r)(R + r) = \)

\( = 3,14 \cdot (5,1 — 4,9)(5,1 + 4,9) = 3,14 \cdot 0,2 \cdot 10 = \)

\( = 3,14 \cdot 2 = 6,28 \) (см²).

Значит, площадь фигуры, ограниченной данными окружностями, равна \( 6,28 \) см².

Ответ: \( 6,28 \) см².

Две окружности с общим центром имеют радиусы \( R \) и \( r \), причём \( R > r \). Фигура, ограниченная этими окружностями, — это кольцо (область между двумя окружностями).

Нужно выразить площадь этой фигуры через \( \pi \), \( R \) и \( r \), а затем вычислить её при \( R = 5,1 \) см и \( r = 4,9 \) см.

1) Выражение площади через \( \pi \), \( R \) и \( r \)

Шаг 1: Площадь круга радиуса \( R \) равна:

\( S_{\text{бол}} = \pi R^2 \).

Шаг 2: Площадь круга радиуса \( r \) равна:

\( S_{\text{мал}} = \pi r^2 \).

Шаг 3: Кольцо — это большой круг без маленького круга внутри, поэтому площадь кольца равна разности площадей:

\( S = S_{\text{бол}} — S_{\text{мал}} \).

Шаг 4: Подставляем формулы площадей:

\( S = \pi R^2 — \pi r^2 \).

Шаг 5: Выносим \( \pi \) за скобки (так как это общий множитель):

\( S = \pi (R^2 — r^2) \).

Шаг 6: Замечаем, что \( R^2 — r^2 \) — разность квадратов, применяем формулу:

\( R^2 — r^2 = (R — r)(R + r) \).

Шаг 7: Получаем окончательную удобную формулу площади кольца:

\( S = \pi (R^2 — r^2) = \pi (R — r)(R + r) \).

2) Вычисление при \( R = 5,1 \) см и \( r = 4,9 \) см

Шаг 8: Подставим значения в формулу \( S = \pi (R — r)(R + r) \):

\( S = \pi (5,1 — 4,9)(5,1 + 4,9) \).

Шаг 9: Вычислим разность и сумму радиусов:

\( 5,1 — 4,9 = 0,2 \)

\( 5,1 + 4,9 = 10 \)

Шаг 10: Перемножим полученные числа:

\( (5,1 — 4,9)(5,1 + 4,9) = 0,2 \cdot 10 = 2 \).

Шаг 11: Тогда площадь равна:

\( S = \pi \cdot 2 = 2\pi \).

Шаг 12: Для численного значения возьмём \( \pi \approx 3,14 \):

\( S \approx 2 \cdot 3,14 = 6,28 \).

Ответ: \( S = \pi (R^2 — r^2) = \pi (R — r)(R + r) \), при \( R = 5,1 \) см и \( r = 4,9 \) см \( S = 6,28 \) см².