ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 16.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Представьте в виде произведения трех множителей выражение:

1) \( m^4 — 625  \)

2) \( x^{16} — 81 \)

3) \( 2^{4n} — 16  \)

4) \( c^{20} — y^{12}\)

1) \( m^4 — 625 = (m^2 — 25)(m^2 + 25) = (m — 5)(m + 5)(m^2 + 25); \)

2) \( x^{16} — 81 = (x^8 — 9)(x^8 + 9) = (x^4 — 3)(x^4 + 3)(x^8 + 9); \)

3) \( 2^{4n} — 16 = (2^{2n} — 4)(2^{2n} + 4) = (2^n — 2)(2^n + 2)(2^{2n} + 4); \)

4) \( c^{20} — y^{12} = (c^{10} — y^6)(c^{10} + y^6) = (c^5 — y^3)(c^5 + y^3)(c^{10} + y^6). \)

Формула разности квадратов:

\( A^2 — B^2 = (A — B)(A + B) \).

1) \( m^4 — 625 \)

Шаг 1: Замечаем, что \( m^4 = (m^2)^2 \), то есть это квадрат выражения \( m^2 \).

Шаг 2: Представляем число \( 625 \) как квадрат: \( 625 = 25^2 \).

Шаг 3: Переписываем выражение как разность квадратов:

\( m^4 — 625 = (m^2)^2 — 25^2 \).

Шаг 4: Применяем формулу разности квадратов при \( A = m^2 \), \( B = 25 \):

\( (m^2)^2 — 25^2 = (m^2 — 25)(m^2 + 25) \).

Шаг 5: Чтобы получить три множителя, разложим \( m^2 — 25 \) ещё раз как разность квадратов:

\( m^2 — 25 = m^2 — 5^2 = (m — 5)(m + 5) \).

Шаг 6: Подставляем это в выражение:

\( m^4 — 625 = (m — 5)(m + 5)(m^2 + 25) \).

Ответ: \( (m — 5)(m + 5)(m^2 + 25) \).

2) \( x^{16} — 81 \)

Шаг 1: Замечаем, что \( x^{16} = (x^8)^2 \), то есть это квадрат выражения \( x^8 \).

Шаг 2: Представляем число \( 81 \) как квадрат: \( 81 = 9^2 \).

Шаг 3: Записываем как разность квадратов:

\( x^{16} — 81 = (x^8)^2 — 9^2 \).

Шаг 4: Применяем формулу разности квадратов при \( A = x^8 \), \( B = 9 \):

\( (x^8)^2 — 9^2 = (x^8 — 9)(x^8 + 9) \).

Шаг 5: Чтобы получить три множителя, разложим \( x^8 — 9 \) ещё раз как разность квадратов:

\( x^8 — 9 = (x^4)^2 — 3^2 = (x^4 — 3)(x^4 + 3) \).

Шаг 6: Подставляем в произведение:

\( x^{16} — 81 = (x^4 — 3)(x^4 + 3)(x^8 + 9) \).

Ответ: \( (x^4 — 3)(x^4 + 3)(x^8 + 9) \).

3) \( 2^{4n} — 16 \)

Шаг 1: Замечаем, что \( 2^{4n} = (2^{2n})^2 \), то есть это квадрат выражения \( 2^{2n} \).

Шаг 2: Представляем число \( 16 \) как квадрат: \( 16 = 4^2 \).

Шаг 3: Записываем как разность квадратов:

\( 2^{4n} — 16 = (2^{2n})^2 — 4^2 \).

Шаг 4: Применяем формулу разности квадратов при \( A = 2^{2n} \), \( B = 4 \):

\( (2^{2n})^2 — 4^2 = (2^{2n} — 4)(2^{2n} + 4) \).

Шаг 5: Чтобы получить три множителя, разложим \( 2^{2n} — 4 \) ещё раз как разность квадратов.

Заметим, что \( 2^{2n} = (2^n)^2 \), а \( 4 = 2^2 \), значит:

\( 2^{2n} — 4 = (2^n)^2 — 2^2 = (2^n — 2)(2^n + 2) \).

Шаг 6: Подставляем в произведение:

\( 2^{4n} — 16 = (2^n — 2)(2^n + 2)(2^{2n} + 4) \).

Ответ: \( (2^n — 2)(2^n + 2)(2^{2n} + 4) \).

4) \( c^{20} — y^{12} \)

Шаг 1: Замечаем, что \( c^{20} = (c^{10})^2 \), а \( y^{12} = (y^6)^2 \). Это разность квадратов:

\( c^{20} — y^{12} = (c^{10})^2 — (y^6)^2 \).

Шаг 2: Применяем формулу разности квадратов при \( A = c^{10} \), \( B = y^6 \):

\( (c^{10})^2 — (y^6)^2 = (c^{10} — y^6)(c^{10} + y^6) \).

Шаг 3: Чтобы получить три множителя, разложим \( c^{10} — y^6 \) ещё раз как разность квадратов.

Заметим, что \( c^{10} = (c^5)^2 \), а \( y^6 = (y^3)^2 \). Тогда:

\( c^{10} — y^6 = (c^5)^2 — (y^3)^2 = (c^5 — y^3)(c^5 + y^3) \).

Шаг 4: Подставляем в произведение:

\( c^{20} — y^{12} = (c^5 — y^3)(c^5 + y^3)(c^{10} + y^6) \).

Ответ: \( (c^5 — y^3)(c^5 + y^3)(c^{10} + y^6) \).