ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 16.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Разложите на множители:

1) \( a^8 — b^8  \)

2) \( a^{16} — 256  \)

3) \( x^8 — z^{20}  \)

1) \( a^8 — b^8 = (a^4 — b^4)(a^4 + b^4) = (a^2 — b^2)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4) = \)

\( = (a — b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4); \)

2) \( a^{16} — 256 = (a^8 — 16)(a^8 + 16) = (a^4 — 4)(a^4 + 4)(a^8 + 16) = \)

\( = (a^2 — 2)(a^2 + 2)(a^4 + 4)(a^8 + 16); \)

3) \( x^8 — z^{20} = (x^4 — z^{10})(x^4 + z^{10}) = (x^2 — z^5)(x^2 + z^5)(x^4 + z^{10}). \)

Во всех пунктах используется формула разности квадратов:

\( A^2 — B^2 = (A — B)(A + B) \).

1) \( a^8 — b^8 \)

Шаг 1: Замечаем, что \( a^8 — b^8 \) — разность одинаковых чётных степеней. Представим как разность квадратов:

\( a^8 — b^8 = (a^4)^2 — (b^4)^2 \)

Шаг 2: Применяем формулу разности квадратов при \( A = a^4 \), \( B = b^4 \):

\( (a^4)^2 — (b^4)^2 = (a^4 — b^4)(a^4 + b^4) \)

Шаг 3: Теперь разложим \( a^4 — b^4 \) (это тоже разность квадратов):

\( a^4 — b^4 = (a^2)^2 — (b^2)^2 \)

Шаг 4: Применяем формулу разности квадратов при \( A = a^2 \), \( B = b^2 \):

\( (a^2)^2 — (b^2)^2 = (a^2 — b^2)(a^2 + b^2) \)

Шаг 5: Теперь разложим \( a^2 — b^2 \) ещё раз как разность квадратов:

\( a^2 — b^2 = a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \)

Шаг 6: Собираем все полученные множители вместе, не забывая, что \( a^4 + b^4 \) по формуле разности квадратов дальше в действительных числах не раскладывается:

\( a^8 — b^8 = (a^4 — b^4)(a^4 + b^4) \)

\( = (a^2 — b^2)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4) \)

\( = (a — b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4) \)

Ответ: \( (a — b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4) \).

2) \( a^{16} — 256 \)

Шаг 1: Представим \( a^{16} \) как квадрат: \( a^{16} = (a^8)^2 \).

Шаг 2: Представим \( 256 \) как квадрат: \( 256 = 16^2 \).

Шаг 3: Записываем как разность квадратов:

\( a^{16} — 256 = (a^8)^2 — 16^2 \)

Шаг 4: Применяем формулу разности квадратов при \( A = a^8 \), \( B = 16 \):

\( (a^8)^2 — 16^2 = (a^8 — 16)(a^8 + 16) \)

Шаг 5: Разложим \( a^8 — 16 \) как разность квадратов.

Заметим: \( a^8 = (a^4)^2 \), \( 16 = 4^2 \). Тогда:

\( a^8 — 16 = (a^4)^2 — 4^2 = (a^4 — 4)(a^4 + 4) \)

Шаг 6: Разложим \( a^4 — 4 \) как разность квадратов.

Заметим: \( a^4 = (a^2)^2 \), \( 4 = 2^2 \). Тогда:

\( a^4 — 4 = (a^2)^2 — 2^2 = (a^2 — 2)(a^2 + 2) \)

Шаг 7: Собираем всё вместе:

\( a^{16} — 256 = (a^8 — 16)(a^8 + 16) \)

\( = (a^4 — 4)(a^4 + 4)(a^8 + 16) \)

\( = (a^2 — 2)(a^2 + 2)(a^4 + 4)(a^8 + 16) \)

Ответ: \( (a^2 — 2)(a^2 + 2)(a^4 + 4)(a^8 + 16) \).

3) \( x^8 — z^{20} \)

Шаг 1: Представим обе части как квадраты:

\( x^8 = (x^4)^2 \)

\( z^{20} = (z^{10})^2 \)

Шаг 2: Записываем как разность квадратов:

\( x^8 — z^{20} = (x^4)^2 — (z^{10})^2 \)

Шаг 3: Применяем формулу разности квадратов при \( A = x^4 \), \( B = z^{10} \):

\( (x^4)^2 — (z^{10})^2 = (x^4 — z^{10})(x^4 + z^{10}) \)

Шаг 4: Разложим \( x^4 — z^{10} \) как разность квадратов.

Заметим: \( x^4 = (x^2)^2 \), \( z^{10} = (z^5)^2 \). Тогда:

\( x^4 — z^{10} = (x^2)^2 — (z^5)^2 = (x^2 — z^5)(x^2 + z^5) \)

Шаг 5: Собираем все множители:

\( x^8 — z^{20} = (x^4 — z^{10})(x^4 + z^{10}) \)

\( = (x^2 — z^5)(x^2 + z^5)(x^4 + z^{10}) \)

Ответ: \( (x^2 — z^5)(x^2 + z^5)(x^4 + z^{10}) \).