ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 16.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном n значение выражения:

1) \( (7n+4)^2-9 \) делится нацело на \( 7 \);

2) \( (8n+1)^2-(3n-1)^2 \) делится нацело на \( 11 \);

3) \( (3n+7)^2-(3n-5)^2 \) делится нацело на \( 24 \);

4) \( (7n+6)^2-(2n-9)^2 \) делится нацело на \( 15 \).

1) \( (7n + 4)^2 — 9 = (7n + 4 — 3)(7n + 4 + 3) = (7n + 1)(7n + 7) = \)

\( = 7(7n + 1)(n + 1) ⇒ \) делится нацело на 7.

2) \( (8n + 1)^2 — (3n — 1)^2 = (8n + 1 — (3n — 1))(8n + 1 + 3n — 1) = \)

\( = (8n + 1 — 3n + 1) \cdot 11n = 11n(5n + 2) ⇒ \) делится нацело на 11.

3) \( (3n + 7)^2 — (3n — 5)^2 = (3n + 7 — (3n — 5))(3n + 7 + 3n — 5) = \)

\( = (3n + 7 — 3n + 5)(6n + 2) = 12 \cdot 2(3n + 1) = 24(3n + 1) ⇒ \) делится нацело на 24.

4) \( (7n + 6)^2 — (2n — 9)^2 = (7n + 6 — (2n — 9))(7n + 6 + 2n — 9) = \)

\( = (7n + 6 — 2n + 9)(9n — 3) = (5n + 15) \cdot 3(3n — 1) = \)

\( = 5(n + 3) \cdot 3(3n — 1) = 15(n + 3)(3n — 1) ⇒ \) делится нацело на 15.

Докажите, что при любом натуральном \( n \) значение выражения:

1) \( (7n+4)^2-9 \) делится нацело на \( 7 \);

2) \( (8n+1)^2-(3n-1)^2 \) делится нацело на \( 11 \);

3) \( (3n+7)^2-(3n-5)^2 \) делится нацело на \( 24 \);

4) \( (7n+6)^2-(2n-9)^2 \) делится нацело на \( 15 \).

1) \( (7n+4)^2-9 \)

Заметим, что \( 9 = 3^2 \). Тогда выражение имеет вид разности квадратов:

\( (7n+4)^2 — 9 = (7n+4)^2 — 3^2 \)

Применяем формулу разности квадратов \( A^2 — B^2 = (A-B)(A+B) \), где \( A = 7n+4 \), \( B = 3 \):

\( (7n+4)^2 — 3^2 = (7n+4-3)(7n+4+3) \)

Упрощаем каждую скобку:

\( 7n+4-3 = 7n+1 \)

\( 7n+4+3 = 7n+7 \)

Получаем:

\( (7n+4)^2 — 9 = (7n+1)(7n+7) \)

Во втором множителе выносим \( 7 \):

\( 7n+7 = 7(n+1) \)

Тогда:

\( (7n+1)(7n+7) = (7n+1)\cdot 7(n+1) = 7(7n+1)(n+1) \)

Мы представили выражение в виде \( 7 \cdot \text{целое число} \), значит оно делится нацело на \( 7 \) при любом натуральном \( n \).

2) \( (8n+1)^2-(3n-1)^2 \)

Это разность квадратов, где \( A = 8n+1 \), \( B = 3n-1 \):

\( (8n+1)^2-(3n-1)^2 = A^2 — B^2 \)

Применяем формулу \( A^2 — B^2 = (A-B)(A+B) \):

\( (8n+1)^2-(3n-1)^2 = (8n+1-(3n-1))(8n+1+(3n-1)) \)

Упрощаем первую скобку, раскрывая внутренние скобки:

\( 8n+1-(3n-1) = 8n+1-3n+1 \)

Собираем подобные:

\( 8n-3n = 5n \)

\( 1+1 = 2 \)

Значит:

\( 8n+1-(3n-1) = 5n+2 \)

Упрощаем вторую скобку:

\( 8n+1+(3n-1) = 8n+1+3n-1 \)

\( 8n+3n = 11n \)

\( 1-1 = 0 \)

Значит:

\( 8n+1+(3n-1) = 11n \)

Тогда всё выражение равно:

\( (5n+2)(11n) = 11n(5n+2) \)

Мы получили вид \( 11 \cdot \text{целое число} \), так как \( n \) — натуральное, значит \( 11n(5n+2) \) делится нацело на \( 11 \) при любом натуральном \( n \).

3) \( (3n+7)^2-(3n-5)^2 \)

Это разность квадратов, где \( A = 3n+7 \), \( B = 3n-5 \):

\( (3n+7)^2-(3n-5)^2 = (A-B)(A+B) \)

Записываем по формуле разности квадратов:

\( (3n+7)^2-(3n-5)^2 = (3n+7-(3n-5))(3n+7+(3n-5)) \)

Упрощаем первую скобку:

\( 3n+7-(3n-5) = 3n+7-3n+5 \)

\( 3n-3n = 0 \)

\( 7+5 = 12 \)

Значит:

\( 3n+7-(3n-5) = 12 \)

Упрощаем вторую скобку:

\( 3n+7+(3n-5) = 3n+7+3n-5 \)

\( 3n+3n = 6n \)

\( 7-5 = 2 \)

Значит:

\( 3n+7+(3n-5) = 6n+2 \)

Тогда:

\( (3n+7)^2-(3n-5)^2 = 12(6n+2) \)

Выносим общий множитель \( 2 \) из \( 6n+2 \):

\( 6n+2 = 2(3n+1) \)

Подставляем:

\( 12(6n+2) = 12 \cdot 2(3n+1) \)

Перемножаем числа \( 12 \cdot 2 \):

\( 12 \cdot 2 = 24 \)

Получаем:

\( 12 \cdot 2(3n+1) = 24(3n+1) \)

Имеем вид \( 24 \cdot \text{целое число} \), значит выражение делится нацело на \( 24 \) при любом натуральном \( n \).

4) \( (7n+6)^2-(2n-9)^2 \)

Это разность квадратов, где \( A = 7n+6 \), \( B = 2n-9 \):

\( (7n+6)^2-(2n-9)^2 = (A-B)(A+B) \)

Применяем формулу:

\( (7n+6)^2-(2n-9)^2 = (7n+6-(2n-9))(7n+6+(2n-9)) \)

Упрощаем первую скобку:

\( 7n+6-(2n-9) = 7n+6-2n+9 \)

\( 7n-2n = 5n \)

\( 6+9 = 15 \)

Значит:

\( 7n+6-(2n-9) = 5n+15 \)

Упрощаем вторую скобку:

\( 7n+6+(2n-9) = 7n+6+2n-9 \)

\( 7n+2n = 9n \)

\( 6-9 = -3 \)

Значит:

\( 7n+6+(2n-9) = 9n-3 \)

Получаем:

\( (7n+6)^2-(2n-9)^2 = (5n+15)(9n-3) \)

Разложим каждый множитель на произведение с выделением числового коэффициента.

В первом множителе выносим \( 5 \):

\( 5n+15 = 5(n+3) \)

Во втором множителе выносим \( 3 \):

\( 9n-3 = 3(3n-1) \)

Подставляем:

\( (5n+15)(9n-3) = 5(n+3)\cdot 3(3n-1) \)

Перемножаем числовые множители \( 5 \cdot 3 \):

\( 5 \cdot 3 = 15 \)

Получаем:

\( 5(n+3)\cdot 3(3n-1) = 15(n+3)(3n-1) \)

Мы представили выражение в виде \( 15 \cdot \text{целое число} \), значит оно делится нацело на \( 15 \) при любом натуральном \( n \).