ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 16.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном n значение выражения:

1) \( (5n+4)^2-(5n-4)^2 \) делится нацело на \( 80 \);

2) \( (9n+10)^2-(9n+8)^2 \) делится нацело на \( 36 \);

3) \( (10n+2)^2-(4n-10)^2 \) делится нацело на \( 12 \).

1) \( (5n + 4)^2 — (5n — 4)^2 = (5n + 4 — (5n — 4))(5n + 4 + 5n — 4) = \)

\( = (5n + 4 — 5n + 4) \cdot 10n = 8 \cdot 10n = 80n ⇒ \) делится нацело на 80.

2) \( (9n + 10)^2 — (9n + 8)^2 = (9n + 10 — (9n + 8))(9n + 10 + 9n + 8) = \)

\( = (9n + 10 — 9n — 8)(18n + 18) = 2 \cdot 18(n + 1) = 36(n + 1) ⇒ \) делится нацело на 36.

3) \( (10n + 2)^2 — (4n — 10)^2 = (10n + 2 — (4n — 10)) \cdot \)

\( \cdot (10n + 2 + 4n — 10) = (10n + 2 — 4n + 10)(14n — 8) = \)

\( = (6n + 12)(14n — 8) = 6 \cdot 2(7b — 4) = 12(7b — 4) ⇒ \) делится нацело на 12.

Докажите, что при любом натуральном \( n \) значение выражения:

1) \( (5n+4)^2-(5n-4)^2 \) делится нацело на \( 80 \);

2) \( (9n+10)^2-(9n+8)^2 \) делится нацело на \( 36 \);

3) \( (10n+2)^2-(4n-10)^2 \) делится нацело на \( 12 \).

1) \( (5n+4)^2-(5n-4)^2 \)

Выражение является разностью квадратов: \( A^2 — B^2 \), где \( A = 5n+4 \), \( B = 5n-4 \).

\( (5n+4)^2-(5n-4)^2 = (A^2 — B^2) \)

Применяем формулу разности квадратов \( A^2 — B^2 = (A-B)(A+B) \):

\( (5n+4)^2-(5n-4)^2 = ((5n+4)-(5n-4))((5n+4)+(5n-4)) \)

Упрощаем первую скобку:

\( (5n+4)-(5n-4) = 5n+4-5n+4 \)

\( 5n-5n = 0 \)

\( 4+4 = 8 \)

\( 5n+4-5n+4 = 8 \)

Упрощаем вторую скобку:

\( (5n+4)+(5n-4) = 5n+4+5n-4 \)

\( 5n+5n = 10n \)

\( 4-4 = 0 \)

\( 5n+4+5n-4 = 10n \)

Подставляем упрощённые результаты:

\( ((5n+4)-(5n-4))((5n+4)+(5n-4)) = 8 \cdot 10n \)

Перемножаем числовые множители:

\( 8 \cdot 10n = 80n \)

Получили представление выражения в виде \( 80 \cdot n \):

\( (5n+4)^2-(5n-4)^2 = 80n \)

Так как \( n \) — натуральное число, то \( 80n \) кратно \( 80 \). Значит, выражение делится нацело на \( 80 \) при любом натуральном \( n \).

2) \( (9n+10)^2-(9n+8)^2 \)

Это разность квадратов: \( A^2 — B^2 \), где \( A = 9n+10 \), \( B = 9n+8 \).

\( (9n+10)^2-(9n+8)^2 = ((9n+10)-(9n+8))((9n+10)+(9n+8)) \)

Упрощаем первую скобку:

\( (9n+10)-(9n+8) = 9n+10-9n-8 \)

\( 9n-9n = 0 \)

\( 10-8 = 2 \)

\( 9n+10-9n-8 = 2 \)

Упрощаем вторую скобку:

\( (9n+10)+(9n+8) = 9n+10+9n+8 \)

\( 9n+9n = 18n \)

\( 10+8 = 18 \)

\( 9n+10+9n+8 = 18n+18 \)

Подставляем результаты:

\( (9n+10)^2-(9n+8)^2 = 2(18n+18) \)

Выносим \( 18 \) из скобки \( 18n+18 \):

\( 18n+18 = 18(n+1) \)

Тогда:

\( 2(18n+18) = 2 \cdot 18(n+1) \)

Перемножаем числовые множители \( 2 \cdot 18 \):

\( 2 \cdot 18 = 36 \)

Получаем:

\( (9n+10)^2-(9n+8)^2 = 36(n+1) \)

Так как \( n \) — натуральное число, то \( n+1 \) — целое число. Следовательно, \( 36(n+1) \) кратно \( 36 \), значит исходное выражение делится нацело на \( 36 \) при любом натуральном \( n \).

3) \( (10n+2)^2-(4n-10)^2 \)

Это разность квадратов: \( A^2 — B^2 \), где \( A = 10n+2 \), \( B = 4n-10 \).

\( (10n+2)^2-(4n-10)^2 = ((10n+2)-(4n-10))((10n+2)+(4n-10)) \)

Упрощаем первую скобку:

\( (10n+2)-(4n-10) = 10n+2-4n+10 \)

\( 10n-4n = 6n \)

\( 2+10 = 12 \)

\( 10n+2-4n+10 = 6n+12 \)

Упрощаем вторую скобку:

\( (10n+2)+(4n-10) = 10n+2+4n-10 \)

\( 10n+4n = 14n \)

\( 2-10 = -8 \)

\( 10n+2+4n-10 = 14n-8 \)

Получаем:

\( (10n+2)^2-(4n-10)^2 = (6n+12)(14n-8) \)

Выносим общий множитель из каждого множителя:

Из \( 6n+12 \) выносим \( 6 \):

\( 6n+12 = 6(n+2) \)

Из \( 14n-8 \) выносим \( 2 \):

\( 14n-8 = 2(7n-4) \)

Подставляем разложения:

\( (6n+12)(14n-8) = 6(n+2)\cdot 2(7n-4) \)

Перемножаем числовые множители \( 6 \cdot 2 \):

\( 6 \cdot 2 = 12 \)

Получаем:

\( 6(n+2)\cdot 2(7n-4) = 12(n+2)(7n-4) \)

Мы представили выражение в виде \( 12 \cdot \text{целое число} \), так как \( n \) — натуральное, то \( n+2 \) и \( 7n-4 \) — целые числа. Следовательно, \( 12(n+2)(7n-4) \) делится нацело на \( 12 \) при любом натуральном \( n \).