ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 16.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что:

1) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел;

2) разность квадратов двух последовательных чётных чисел делится нацело на 4.

1) Пусть даны два последовательных натуральных числа: \( n \) и \( n + 1 \), тогда:

\( (n + 1)^2 — n^2 = n + (n + 1) \)

\( (n + 1 — n)(n + 1 + n) = n + n + 1 \)

\( 1 \cdot (2n + 1) = 2n + 1 \)

\( 2n + 1 = 2n + 1 ⇒ \) что и требовалось доказать.

2) Пусть даны два последовательных четных числа: \( 2n \) и \( 2n + 2 \), тогда:

\( (2n + 2)^2 — (2n)^2 = (2n + 2 — 2n)(2n + 2 + 2n) = 2 \cdot (4n + 2) = \)

\( = 2 \cdot 2(2n + 1) = 4(2n + 1) ⇒ \) делится нацело на 4.

Что и требовалось доказать.

Докажите, что:

1) Разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел

Шаг 1. Обозначим два последовательных натуральных числа.

Пусть первое число равно \( n \), тогда следующее за ним последовательное натуральное число равно \( n+1 \).

Шаг 2. Составим разность квадратов этих чисел.

\( (n+1)^2 — n^2 \)

Шаг 3. Узнаём разность квадратов и применяем формулу \( A^2 — B^2 = (A-B)(A+B) \).

Здесь \( A = n+1 \), \( B = n \), поэтому:

\( (n+1)^2 — n^2 = ((n+1)-n)\cdot((n+1)+n) \)

Шаг 4. Упростим каждую скобку.

\( (n+1)-n = n+1-n = 1 \)

\( (n+1)+n = n+1+n = 2n+1 \)

Шаг 5. Перемножим полученные множители.

\( ((n+1)-n)\cdot((n+1)+n) = 1\cdot(2n+1) = 2n+1 \)

Шаг 6. Теперь найдём сумму этих двух последовательных чисел.

\( n + (n+1) \)

Шаг 7. Упростим сумму.

\( n + (n+1) = n+n+1 = 2n+1 \)

Шаг 8. Сравним полученные результаты.

Разность квадратов равна \( 2n+1 \), и сумма чисел тоже равна \( 2n+1 \).

\( (n+1)^2 — n^2 = 2n+1 \)

\( n + (n+1) = 2n+1 \)

Следовательно:

\( (n+1)^2 — n^2 = n + (n+1) \)

Что и требовалось доказать.

2) Разность квадратов двух последовательных чётных чисел делится нацело на 4

Шаг 1. Запишем общий вид чётного числа.

Любое чётное число можно представить в виде \( 2n \), где \( n \) — натуральное число.

Шаг 2. Запишем два последовательных чётных числа.

Если первое чётное число равно \( 2n \), то следующее чётное число на 2 больше:

\( 2n+2 \)

Шаг 3. Запишем разность квадратов этих чисел.

\( (2n+2)^2 — (2n)^2 \)

Шаг 4. Узнаём разность квадратов и применяем формулу \( A^2 — B^2 = (A-B)(A+B) \).

Здесь \( A = 2n+2 \), \( B = 2n \), значит:

\( (2n+2)^2 — (2n)^2 = ((2n+2)-(2n))\cdot((2n+2)+(2n)) \)

Шаг 5. Упростим первую скобку.

\( (2n+2)-(2n) = 2n+2-2n = 2 \)

Шаг 6. Упростим вторую скобку.

\( (2n+2)+(2n) = 2n+2+2n = 4n+2 \)

Шаг 7. Подставим упрощённые выражения.

\( ((2n+2)-(2n))\cdot((2n+2)+(2n)) = 2\cdot(4n+2) \)

Шаг 8. Вынесем общий множитель \( 2 \) из скобки \( 4n+2 \).

\( 4n+2 = 2(2n+1) \)

Шаг 9. Подставим это разложение и перемножим числовые множители.

\( 2\cdot(4n+2) = 2\cdot 2(2n+1) \)

\( 2\cdot 2(2n+1) = 4(2n+1) \)

Шаг 10. Сделаем вывод о делимости.

\( 4(2n+1) \) имеет вид \( 4 \cdot \text{целое число} \), так как \( 2n+1 \) — целое число при любом натуральном \( n \).

Следовательно, \( (2n+2)^2 — (2n)^2 \) делится нацело на \( 4 \) при любом натуральном \( n \).

Что и требовалось доказать.