ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 16.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что:

1) разность квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел;

2) разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится нацело на 8.

1) Пусть даны два последовательных четных числа: \( 2n \) и \( 2n + 2 \), тогда:

\( (2n + 2)^2 — (2n)^2 = 2(2n + (2n + 2)) \)

\( (2n + 2 — 2n)(2n + 2 + 2n) = 2(2n + 2n + 2) \)

\( 2 \cdot (4n + 2) = 2 \cdot (4n + 2) ⇒ \) что и требовалось доказать.

2) Пусть даны два последовательных нечетных числа: \( 2n — 1 \) и \( 2n + 1 \), тогда:

\( (2n + 1)^2 — (2n — 1)^2 = (2n + 1 — (2n — 1))(2n + 1 + 2n — 1) = \)

\( = (2n + 1 — 2n + 1) \cdot 4n = 2 \cdot 4n = 8n ⇒ \) делится нацело на 8.

Что и требовалось доказать.

Докажите, что:

1) Разность квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел

Шаг 1. Запишем два последовательных чётных числа.

Любое чётное число представимо в виде \( 2n \), где \( n \) — натуральное число.

Следующее за ним чётное число отличается на 2, то есть равно \( 2n+2 \).

Итак, два последовательных чётных числа: \( 2n \) и \( 2n+2 \).

Шаг 2. Запишем разность квадратов этих чисел.

\( (2n+2)^2 — (2n)^2 \)

Шаг 3. Применим формулу разности квадратов \( A^2 — B^2 = (A-B)(A+B) \).

Здесь \( A = 2n+2 \), \( B = 2n \), поэтому:

\( (2n+2)^2 — (2n)^2 = ((2n+2)-(2n))((2n+2)+(2n)) \)

Шаг 4. Упростим первую скобку.

\( (2n+2)-(2n) = 2n+2-2n = 2 \)

Шаг 5. Упростим вторую скобку.

\( (2n+2)+(2n) = 2n+2+2n = 4n+2 \)

Шаг 6. Подставим упрощённые результаты.

\( ((2n+2)-(2n))((2n+2)+(2n)) = 2(4n+2) \)

Шаг 7. Теперь запишем удвоенную сумму этих чисел.

Сумма чисел \( 2n \) и \( 2n+2 \):

\( 2n + (2n+2) \)

Шаг 8. Удвоенная сумма — это \( 2 \) умножить на сумму.

\( 2(2n + (2n+2)) \)

Шаг 9. Упростим выражение \( 2(2n + (2n+2)) \), чтобы сравнить с разностью квадратов.

Сначала упростим сумму внутри скобок:

\( 2n + (2n+2) = 2n+2n+2 = 4n+2 \)

Тогда:

\( 2(2n + (2n+2)) = 2(4n+2) \)

Шаг 10. Сравним полученные выражения.

Мы получили:

\( (2n+2)^2 — (2n)^2 = 2(4n+2) \)

и

\( 2(2n + (2n+2)) = 2(4n+2) \)

Следовательно:

\( (2n+2)^2 — (2n)^2 = 2(2n + (2n+2)) \)

То есть разность квадратов двух последовательных чётных чисел действительно равна удвоенной сумме этих чисел.

Что и требовалось доказать.

2) Разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится нацело на 8

Шаг 1. Запишем два последовательных нечётных числа.

Нечётные числа отличаются друг от друга на 2. Удобно взять два нечётных числа, симметричных относительно \( 2n \):

\( 2n-1 \) и \( 2n+1 \)

Это два последовательных нечётных числа, так как между ними разность равна 2.

Шаг 2. Запишем разность квадратов этих чисел.

\( (2n+1)^2 — (2n-1)^2 \)

Шаг 3. Применим формулу разности квадратов \( A^2 — B^2 = (A-B)(A+B) \).

Здесь \( A = 2n+1 \), \( B = 2n-1 \), значит:

\( (2n+1)^2 — (2n-1)^2 = ((2n+1)-(2n-1))((2n+1)+(2n-1)) \)

Шаг 4. Упростим первую скобку.

\( (2n+1)-(2n-1) = 2n+1-2n+1 \)

\( 2n-2n = 0 \)

\( 1+1 = 2 \)

\( (2n+1)-(2n-1) = 2 \)

Шаг 5. Упростим вторую скобку.

\( (2n+1)+(2n-1) = 2n+1+2n-1 \)

\( 2n+2n = 4n \)

\( 1-1 = 0 \)

\( (2n+1)+(2n-1) = 4n \)

Шаг 6. Подставим упрощённые результаты.

\( ((2n+1)-(2n-1))((2n+1)+(2n-1)) = 2 \cdot 4n \)

Шаг 7. Перемножим числовые множители.

\( 2 \cdot 4n = 8n \)

Шаг 8. Получили вид произведения \( 8 \cdot n \).

\( (2n+1)^2 — (2n-1)^2 = 8n \)

Шаг 9. Так как \( n \) — натуральное число, то \( 8n \) кратно \( 8 \).

Шаг 10. Следовательно, разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится нацело на \( 8 \) при любом натуральном \( n \).

Что и требовалось доказать.