Учебник ГДЗ по алгебре за 7 класс авторов Мерзляка и Полякова на углубленном уровне — это настоящая находка для тех учеников, кто хочет не просто выполнять задания, но и глубоко понимать суть алгебраических действий и закономерностей. Он отличается не только четкой структурой, но и детальными разъяснениями каждого примера, что делает его отличным помощником в учебе.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 16.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите тождество:
\( (m^3 — n^3)^2(m^3 + n^3)^2 — (m^6 + n^6)^2 = -4m^6n^6. \)
\( (m^3 — n^3)^2(m^3 + n^3)^2 — (m^6 + n^6)^2 = -4m^6n^6. \)
Преобразуем левую часть равенства:
\( \left((m^3 — n^3)(m^3 + n^3) — (m^6 + n^6)\right) \cdot \)
\( \cdot \left((m^3 — n^3)(m^3 + n^3) + (m^6 + n^6)\right) = (m^6 — n^6 — m^6 — n^6) \cdot \)
\( \cdot (m^6 — n^6 + m^6 + n^6) = -2n^6 \cdot 2m^6 = -4m^6n^6. \)
Следовательно,
\( -4m^6n^6 = -4m^6n^6. \)
Что и требовалось доказать.
Докажите тождество:
\( (m^3 — n^3)^2(m^3 + n^3)^2 — (m^6 + n^6)^2 = -4m^6n^6 \)
Шаг 1. Рассмотрим левую часть тождества.
\( (m^3 — n^3)^2(m^3 + n^3)^2 — (m^6 + n^6)^2 \)
Шаг 2. Заметим, что произведение квадратов можно объединить в квадрат произведения.
Действительно, \( A^2B^2 = (AB)^2 \). Здесь \( A = (m^3 — n^3) \), \( B = (m^3 + n^3) \).
\( (m^3 — n^3)^2(m^3 + n^3)^2 = \left((m^3 — n^3)(m^3 + n^3)\right)^2 \)
Тогда левая часть примет вид разности квадратов:
\( \left((m^3 — n^3)(m^3 + n^3)\right)^2 — (m^6 + n^6)^2 \)
Шаг 3. Применим формулу разности квадратов \( U^2 — V^2 = (U — V)(U + V) \).
Положим \( U = (m^3 — n^3)(m^3 + n^3) \), \( V = (m^6 + n^6) \).
\( U^2 — V^2 = (U — V)(U + V) \)
Подставляем \( U \) и \( V \):
\( \left((m^3 — n^3)(m^3 + n^3)\right)^2 — (m^6 + n^6)^2 = \)
\( = \left((m^3 — n^3)(m^3 + n^3) — (m^6 + n^6)\right)\left((m^3 — n^3)(m^3 + n^3) + (m^6 + n^6)\right) \)
Шаг 4. Упростим выражение \( (m^3 — n^3)(m^3 + n^3) \).
Это снова разность квадратов, потому что \( (a-b)(a+b) = a^2 — b^2 \).
Здесь \( a = m^3 \), \( b = n^3 \), значит:
\( (m^3 — n^3)(m^3 + n^3) = (m^3)^2 — (n^3)^2 = m^6 — n^6 \)
Шаг 5. Подставим результат \( (m^3 — n^3)(m^3 + n^3) = m^6 — n^6 \) в оба множителя.
Первый множитель:
\( (m^3 — n^3)(m^3 + n^3) — (m^6 + n^6) = (m^6 — n^6) — (m^6 + n^6) \)
Раскроем скобки:
\( (m^6 — n^6) — (m^6 + n^6) = m^6 — n^6 — m^6 — n^6 \)
Соберём подобные:
\( m^6 — m^6 = 0 \)
\( -n^6 — n^6 = -2n^6 \)
Значит первый множитель равен:
\( m^6 — n^6 — m^6 — n^6 = -2n^6 \)
Второй множитель:
\( (m^3 — n^3)(m^3 + n^3) + (m^6 + n^6) = (m^6 — n^6) + (m^6 + n^6) \)
Раскроем скобки:
\( (m^6 — n^6) + (m^6 + n^6) = m^6 — n^6 + m^6 + n^6 \)
Соберём подобные:
\( m^6 + m^6 = 2m^6 \)
\( -n^6 + n^6 = 0 \)
Значит второй множитель равен:
\( m^6 — n^6 + m^6 + n^6 = 2m^6 \)
Шаг 6. Перемножим полученные множители.
\( \left((m^3 — n^3)(m^3 + n^3) — (m^6 + n^6)\right)\left((m^3 — n^3)(m^3 + n^3) + (m^6 + n^6)\right) =\)
\(= (-2n^6)(2m^6) \)
Шаг 7. Перемножим числовые коэффициенты и степени.
\( (-2n^6)(2m^6) = (-2)\cdot 2 \cdot n^6 \cdot m^6 \)
\( (-2)\cdot 2 = -4 \)
\( n^6 \cdot m^6 = m^6n^6 \)
Следовательно:
\( (-2n^6)(2m^6) = -4m^6n^6 \)
Шаг 8. Получаем, что левая часть равна правой части.
\( (m^3 — n^3)^2(m^3 + n^3)^2 — (m^6 + n^6)^2 = -4m^6n^6 \)
Шаг 9. Запишем равенство в виде совпадения обеих частей.
\( -4m^6n^6 = -4m^6n^6 \)
Шаг 10. Тождество доказано.
Что и требовалось доказать.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!