ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 16.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Разность квадратов двух двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, равна 693. Найдите эти числа.

Пусть даны два двузначных числа, записанные одними и теми же цифрами: \( \overline{ab} = 10a + b \) и \( \overline{ba} = 10b + a. \)

Составим уравнение:

\( (10a + b)^2 — (10b + a)^2 = 693 \)

\( (10a + b — (10b + a))(10a + b + 10b + a) = 693 \)

\( (10a + b — 10b — a)(11a + 11b) = 693 \)

\( (9a — 9b) \cdot 11(a + b) = 693 \)

\( 99(a — b)(a + b) = 693 \quad | : 99 \)

\( (a — b)(a + b) = 7. \)

Тогда, числа \( (a — b) \) и \( (a + b) \) являются множителями числа 7.

Выпишем все делители числа 7: \( (-1) \) и \( (-7) \); \( 1 \) и \( 7 \).

Если \( a — b = -1 \), то \( a = b — 1 \).

Подставим \( a = b — 1 \):

\( a + b = -7 \)

\( b — 1 + b = -7 \)

\( 2b = -6 \)

\( b = -3 ⇒ \) не натуральное число, не подходит. Если \( a — b = -7 \), то \( a = b — 7. \)

Подставим \( a = b — 7 \):

\( a + b = -1 \)

\( b — 7 + b = -1 \)

\( 2b = 6 \)

\( b = 3. \)

Подставим \( b = 3 \):

\( a = b — 7 = 3 — 7 = -4 ⇒ \) не натуральное число, не подходит.

Если \( a — b = 1 \), то \( a = b + 1. \)

Подставим \( a = b + 1 \):

\( a + b = 7 \)

\( b + 1 + b = 7 \)

\( 2b = 6 \)

\( b = 3. \)

Подставим \( b = 3 \):

\( a = b + 1 = 3 + 1 = 4. \)

Значит, даны числа 43 и 34.

Ответ: 43 и 34.

Разность квадратов двух двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, равна 693. Найдите эти числа.

Шаг 1. Обозначим два двузначных числа, составленных из одних и тех же цифр.

Пусть \( a \) — цифра десятков, \( b \) — цифра единиц, тогда число \( \overline{ab} \) записывается как:

\( \overline{ab} = 10a + b \)

Число с переставленными цифрами \( \overline{ba} \) равно:

\( \overline{ba} = 10b + a \)

Шаг 2. По условию разность квадратов этих чисел равна 693, составим уравнение.

\( (10a + b)^2 — (10b + a)^2 = 693 \)

Шаг 3. Применим формулу разности квадратов \( A^2 — B^2 = (A-B)(A+B) \).

Здесь \( A = 10a + b \), \( B = 10b + a \), поэтому:

\( (10a + b)^2 — (10b + a)^2 = (10a + b — (10b + a))(10a + b + 10b + a) \)

Шаг 4. Упростим каждую скобку.

Первая скобка:

\( 10a + b — (10b + a) = 10a + b — 10b — a \)

\( 10a — a = 9a \)

\( b — 10b = -9b \)

\( 10a + b — 10b — a = 9a — 9b = 9(a-b) \)

Вторая скобка:

\( 10a + b + 10b + a = (10a + a) + (b + 10b) \)

\( 10a + a = 11a \)

\( b + 10b = 11b \)

\( 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11(a+b) \)

Шаг 5. Подставим упрощения в произведение.

\( (10a + b — (10b + a))(10a + b + 10b + a) = 9(a-b)\cdot 11(a+b) \)

Тогда уравнение становится:

\( 9(a-b)\cdot 11(a+b) = 693 \)

Шаг 6. Перемножим числовые коэффициенты.

\( 9 \cdot 11 = 99 \)

\( 99(a-b)(a+b) = 693 \)

Шаг 7. Разделим обе части уравнения на 99.

\( (a-b)(a+b) = \frac{693}{99} \)

Сократим дробь \( \frac{693}{99} \).

\( 99 = 9 \cdot 11 \)

\( 693 = 63 \cdot 11 \), так как \( 63 \cdot 11 = 693 \)

Тогда:

\( \frac{693}{99} = \frac{63 \cdot 11}{9 \cdot 11} = \frac{63}{9} = 7 \)

Следовательно:

\( (a-b)(a+b) = 7 \)

Шаг 8. Учтём, что \( a \) и \( b \) — цифры.

\( a \) — цифра десятков двузначного числа, значит \( a \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \).

\( b \) — цифра единиц, значит \( b \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \).

Тогда \( a-b \) и \( a+b \) — целые числа.

Шаг 9. Так как произведение равно 7, возможны только пары множителей числа 7.

Все целые пары множителей 7:

\( (a-b) = 1 \) и \( (a+b) = 7 \)

\( (a-b) = 7 \) и \( (a+b) = 1 \)

\( (a-b) = -1 \) и \( (a+b) = -7 \)

\( (a-b) = -7 \) и \( (a+b) = -1 \)

Шаг 10. Проверим каждую пару с учётом того, что \( a \) и \( b \) — цифры.

Случай 1: \( a-b = 1 \) и \( a+b = 7 \).

Сложим уравнения:

\( (a-b) + (a+b) = 1 + 7 \)

\( a-b+a+b = 8 \)

\( 2a = 8 \)

\( a = 4 \)

Найдём \( b \) из \( a-b = 1 \):

\( 4 — b = 1 \)

\( b = 3 \)

Цифры подходят: \( a = 4 \), \( b = 3 \).

Случай 2: \( a-b = 7 \) и \( a+b = 1 \).

Сложим уравнения:

\( (a-b) + (a+b) = 7 + 1 \)

\( 2a = 8 \)

\( a = 4 \)

Тогда из \( a+b = 1 \):

\( 4 + b = 1 \)

\( b = -3 \)

\( b \) не является цифрой, случай не подходит.

Случай 3: \( a-b = -1 \) и \( a+b = -7 \).

Тогда \( a+b \) отрицательно, но при \( a \ge 1 \) и \( b \ge 0 \) сумма \( a+b \ge 1 \), значит этот случай невозможен.

Случай 4: \( a-b = -7 \) и \( a+b = -1 \).

Аналогично, \( a+b \) не может быть отрицательной для цифр \( a \) и \( b \), значит случай невозможен.

Итак, единственное подходящее решение: \( a = 4 \), \( b = 3 \).

Шаг 11. Запишем искомые двузначные числа.

\( \overline{ab} = 10a + b = 10 \cdot 4 + 3 = 43 \)

\( \overline{ba} = 10b + a = 10 \cdot 3 + 4 = 34 \)

Шаг 12. Проверка по условию.

\( 43^2 — 34^2 = (43-34)(43+34) \)

\( 43-34 = 9 \)

\( 43+34 = 77 \)

\( 9 \cdot 77 = 693 \)

Условие выполняется.

Ответ: 43 и 34.