ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 16.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Остаток от деления на 7 одного натурального числа равен 4, а другого — 3. Докажите, что разность квадратов этих чисел кратна 7.

Пусть даны натуральные числа \( m \) и \( n. \)

Известно, что \( m = 7a + 4 \) и \( n = 7b + 3. \)

Тогда:

\( (7a + 4)^2 — (7b + 3)^2 = (7a + 4 — (7b + 3))(7a + 4 + 7b + 3) = \)

\( = (7a + 4 — 7b — 3)(7a + 7b + 7) = 7(7a — 7b + 1)(a + b + 1) ⇒ \) кратно 7, так как один из множителей делится нацело на 7.

Что и требовалось доказать.

Остаток от деления на 7 одного натурального числа равен 4, а другого — 3. Докажите, что разность квадратов этих чисел кратна 7.

Шаг 1. Переведём условие про остатки на язык записи чисел через деление с остатком.

Если при делении натурального числа на \( 7 \) остаток равен \( 4 \), то это число можно представить в виде:

\( m = 7a + 4 \)

где \( a \) — некоторое целое неотрицательное число (для натурального \( m \) достаточно \( a \ge 0 \)).

А если при делении другого натурального числа на \( 7 \) остаток равен \( 3 \), то его можно представить в виде:

\( n = 7b + 3 \)

где \( b \) — некоторое целое неотрицательное число.

Шаг 2. Запишем выражение, которое нужно исследовать на делимость на 7.

Нужно доказать, что \( m^2 — n^2 \) кратно \( 7 \).

Подставим \( m = 7a + 4 \) и \( n = 7b + 3 \):

\( m^2 — n^2 = (7a + 4)^2 — (7b + 3)^2 \)

Шаг 3. Узнаём разность квадратов и применяем формулу \( A^2 — B^2 = (A-B)(A+B) \).

Здесь \( A = 7a + 4 \), \( B = 7b + 3 \), значит:

\( (7a + 4)^2 — (7b + 3)^2 = (7a + 4 — (7b + 3))(7a + 4 + (7b + 3)) \)

Шаг 4. Упростим первую скобку \( 7a + 4 — (7b + 3) \).

\( 7a + 4 — (7b + 3) = 7a + 4 — 7b — 3 \)

\( 4 — 3 = 1 \)

Значит:

\( 7a + 4 — 7b — 3 = 7a — 7b + 1 \)

Шаг 5. Упростим вторую скобку \( 7a + 4 + (7b + 3) \).

\( 7a + 4 + (7b + 3) = 7a + 4 + 7b + 3 \)

\( 4 + 3 = 7 \)

Значит:

\( 7a + 4 + 7b + 3 = 7a + 7b + 7 \)

Шаг 6. Подставим упрощённые скобки в произведение.

\( (7a + 4)^2 — (7b + 3)^2 = (7a — 7b + 1)(7a + 7b + 7) \)

Шаг 7. Выделим множитель 7 там, где это очевидно.

Во втором множителе \( 7a + 7b + 7 \) можно вынести \( 7 \):

\( 7a + 7b + 7 = 7(a + b + 1) \)

Шаг 8. Подставим это разложение.

\( (7a — 7b + 1)(7a + 7b + 7) = (7a — 7b + 1)\cdot 7(a + b + 1) \)

Переставим множители (это можно делать, так как умножение коммутативно):

\( (7a — 7b + 1)\cdot 7(a + b + 1) = 7(7a — 7b + 1)(a + b + 1) \)

Шаг 9. Сделаем вывод о делимости на 7.

Мы получили:

\( (7a + 4)^2 — (7b + 3)^2 = 7(7a — 7b + 1)(a + b + 1) \)

Правая часть имеет вид \( 7 \cdot \text{целое число} \), потому что \( (7a — 7b + 1) \) и \( (a + b + 1) \) — целые числа при целых \( a \) и \( b \).

Шаг 10. Формулируем окончательный вывод в терминах исходных чисел.

Следовательно, \( (7a + 4)^2 — (7b + 3)^2 \) делится нацело на \( 7 \), то есть \( m^2 — n^2 \) кратно \( 7 \).

Что и требовалось доказать.