ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 16.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каком значении b уравнение (b² — 4)x = b — 2:

1) имеет бесконечно много корней;

2) не имеет корней;

3) имеет один корень?

\( (b^2 — 4)x = b — 2 \)

\((b — 2)(b + 2)x = b — 2.\)

1) уравнение имеет бесконечно много корней при \(b = 2\), тогда:

\((2 — 2)(2 + 2)x = 2 — 2\)

\(0x = 0 ⇒ x \)— любое число.

2) уравнение не имеет корней при \(b = -2\), тогда:

\((-2 — 2)(-2 + 2)x = -2 — 2\)

\(0x = -4 ⇒ \)корней нет.

3) уравнение имеет один корень при \(b \ne -2\) и \(b \ne 2\), тогда:

\(x = \frac{b — 2}{(b — 2)(b + 2)} = \frac{1}{b + 2}.\)

Ответ: 1) при \(b = 2\); 2) при \(b = -2\); 3) при \(b \ne -2\) и \(b \ne 2\).

Рассмотрим уравнение: \( (b^2 — 4)x = b — 2 \).

Для начала разложим выражение \( b^2 — 4 \) на множители:

\( b^2 — 4 = (b — 2)(b + 2) \), поэтому уравнение примет вид:

\( (b — 2)(b + 2)x = b — 2 \).

Теперь проанализируем три возможных случая, которые могут возникнуть в зависимости от значения \( b \).

1) Уравнение имеет бесконечно много корней, если при каком-то значении \( b \) обе стороны уравнения станут идентичными. Это возможно, если обе стороны будут равны нулю.

Для этого при \( b = 2 \) левая часть уравнения станет равной нулю:

\( (2 — 2)(2 + 2)x = 2 — 2 \Rightarrow 0x = 0 \).

Таким образом, уравнение примет вид \( 0x = 0 \), которое верно для любого значения \( x \). Это означает, что при \( b = 2 \) уравнение имеет бесконечно много корней, так как \( x \) может быть любым числом.

2) Уравнение не имеет корней, если левая часть уравнения равна нулю, а правая часть не равна нулю. Это возможно, если при \( b = -2 \) левая часть уравнения становится равной нулю, а правая — ненулевой.

Для этого при \( b = -2 \) левая часть уравнения станет равной нулю:

\( (-2 — 2)(-2 + 2)x = -2 — 2 \Rightarrow 0x = -4 \).

Уравнение вида \( 0x = -4 \) не имеет решений, так как невозможно найти \( x \), которое при умножении на ноль дало бы ненулевое значение. Таким образом, при \( b = -2 \) уравнение не имеет корней.

3) Уравнение имеет один корень, если оба множителя на левой стороне уравнения не равны нулю, и при этом существует решение для \( x \). Это возможно, если \( b \neq 2 \) и \( b \neq -2 \).

В этом случае, если \( b \neq 2 \) и \( b \neq -2 \), то уравнение можно упростить, разделив обе части на \( (b — 2) \), так как \( (b — 2) \neq 0 \) при \( b \neq 2 \):

\( (b — 2)(b + 2)x = b — 2 \Rightarrow (b + 2)x = 1 \).

Теперь решим полученное уравнение относительно \( x \):

\( x = \frac{1}{b + 2} \).

Таким образом, уравнение имеет единственное решение \( x = \frac{1}{b + 2} \), которое существует при \( b \neq 2 \) и \( b \neq -2 \).

Ответ:

1) Уравнение имеет бесконечно много корней при \( b = 2 \);

2) Уравнение не имеет корней при \( b = -2 \);

3) Уравнение имеет один корень при \( b \neq 2 \) и \( b \neq -2 \), а именно \( x = \frac{1}{b + 2} \).