ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 16.26 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каком значении а уравнение (a² — 25)x = a + 5:

1) имеет бесконечно много корней;

2) не имеет корней;

3) имеет один корень?

\((a^2 — 25)x = a + 5\)

\((a — 5)(a + 5)x = a + 5.\)

1) уравнение имеет бесконечно много корней при \(a = -5\), тогда:

\((-5 — 5)(-5 + 5)x = -5 + 5\)

\(0x = 0 ⇒ x\) — любое число.

2) уравнение не имеет корней при \(a = 5\), тогда:

\((5 — 5)(5 + 5)x = 5 + 5\)

\(0x = 10 \)⇒ корней нет.

3) уравнение имеет один корень при \(a \ne -5\) и \(a \ne 5\), тогда:

\(x = \frac{a + 5}{(a — 5)(a + 5)} = \frac{1}{a — 5}.\)

Ответ: 1) при \(a = -5\); 2) при \(a = 5\); 3) при \(a \ne -5\) и \(a \ne 5\).

Дано уравнение: \( (a^2 — 25)x = a + 5 \)

1) Для того чтобы уравнение имело бесконечно много корней, необходимо, чтобы левая и правая части уравнения одновременно обнулились. Рассмотрим первый случай, когда \( a^2 — 25 = 0 \).

Для этого нужно решить уравнение:

\( a^2 — 25 = 0 \)

Приведем его к виду:

\( a^2 = 25 \)

Таким образом, \( a = 5 \) или \( a = -5 \). Теперь подставим эти значения в исходное уравнение:

Если \( a = -5 \), то уравнение принимает вид:

\( (-5^2 — 25)x = -5 + 5 \), что упрощается до \( 0x = 0 \).

Это уравнение всегда истинно, так как произведение нуля на \( x \) всегда равно нулю. Следовательно, для \( a = -5 \) уравнение имеет бесконечно много корней.

2) Для того чтобы уравнение не имело корней, необходимо, чтобы левая часть уравнения равнялась нулю, а правая — не равнялась нулю. Рассмотрим второй случай, когда \( a = 5 \).

Подставим \( a = 5 \) в исходное уравнение:

\( (5^2 — 25)x = 5 + 5 \), что упрощается до \( (25 — 25)x = 10 \), или \( 0x = 10 \).

Это уравнение не имеет решений, так как ноль не может быть равен десяти. Следовательно, для \( a = 5 \) уравнение не имеет корней.

3) Для того чтобы уравнение имело один корень, необходимо, чтобы левая часть уравнения была не нулевая, а правая часть уравнения была равна числу. Рассмотрим третий случай, когда \( a \neq 5 \) и \( a \neq -5 \).

Тогда уравнение примет вид:

\( (a^2 — 25)x = a + 5 \).

Преобразуем его, поделив обе части уравнения на \( (a^2 — 25) \), при условии, что \( a \neq 5 \) и \( a \neq -5 \):

\( x = \frac{a + 5}{a^2 — 25} \).

В данном случае уравнение имеет ровно один корень, так как дробь имеет конечное значение при всех значениях \( a \), отличных от \( -5 \) и \( 5 \).

Ответ: 1) при \( a = -5 \); 2) при \( a = 5 \); 3) при \( a \neq 5 \) и \( a \neq -5 \).