ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 16.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите значение выражения \( \left(1 — \frac{1}{4}\right)\left(1 — \frac{1}{9}\right)\left(1 — \frac{1}{16}\right) \ldots \left(1 — \frac{1}{144}\right) \).

\( \left(1 — \frac{1}{4}\right)\left(1 — \frac{1}{9}\right)\left(1 — \frac{1}{16}\right) \ldots \left(1 — \frac{1}{144}\right) = \left(1 — \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) \cdot \)

\(\cdot \left(1 — \left(\frac{1}{3}\right)^2\right)\left(1 — \left(\frac{1}{4}\right)^2\right) \ldots \left(1 — \left(\frac{1}{12}\right)^2\right) = \)

\( = \left(\frac{2^2 — 1}{2^2}\right)\left(\frac{3^2 — 1}{3^2}\right)\left(\frac{4^2 — 1}{4^2}\right) \ldots \left(\frac{12^2 — 1}{12^2}\right) = \)

\( = \left(\frac{(2 — 1)(2 + 1)}{2^2}\right)\left(\frac{(3 — 1)(3 + 1)}{3^2}\right)\left(\frac{(4 — 1)(4 + 1)}{4^2}\right) \ldots \cdot \)

\( \cdot \left(\frac{(12 — 1)(12 + 1)}{12^2}\right) = \frac{3}{2^2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{3^2} \cdot \frac{3 \cdot 5}{4^2} \ldots \frac{11 \cdot 13}{12^2} = \)

\( = \frac{1 \cdot 1 \cdot 1 \ldots 13}{2 \cdot 1 \cdot 1 \ldots 12} = \frac{13}{24}. \)

Дано произведение множителей: \( \left(1 — \frac{1}{4}\right)\left(1 — \frac{1}{9}\right)\left(1 — \frac{1}{16}\right) \ldots \left(1 — \frac{1}{144}\right) \).

Первым шагом преобразуем каждый множитель в виде \( 1 — \frac{1}{n^2} \), где \( n \) — целое число, начиная с 2 и до 12. Это можно записать как:

\( \left(1 — \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) \cdot \left(1 — \left(\frac{1}{3}\right)^2\right) \left(1 — \left(\frac{1}{4}\right)^2\right) \ldots \left(1 — \left(\frac{1}{12}\right)^2\right) \).

Заменим каждое выражение в скобках на более удобное представление. Для этого вычитаем квадраты чисел и получаем:

\( \left(\frac{2^2 — 1}{2^2}\right)\left(\frac{3^2 — 1}{3^2}\right)\left(\frac{4^2 — 1}{4^2}\right) \ldots \left(\frac{12^2 — 1}{12^2}\right) \).

Далее, выразим каждое числитель и знаменатель с использованием разности квадратов:

\( \left(\frac{(2 — 1)(2 + 1)}{2^2}\right)\left(\frac{(3 — 1)(3 + 1)}{3^2}\right)\left(\frac{(4 — 1)(4 + 1)}{4^2}\right) \ldots \cdot \left(\frac{(12 — 1)(12 + 1)}{12^2}\right) \).

Теперь каждый множитель имеет вид, где числитель — это произведение двух множителей, а знаменатель — квадрат числа. Упростим выражение для нескольких первых множителей:

\( \frac{3}{2^2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{3^2} \cdot \frac{3 \cdot 5}{4^2} \ldots \cdot \frac{11 \cdot 13}{12^2} \).

Здесь видно, что в числителе каждого множителя мы получаем последовательность: \( 3, 2 \cdot 4, 3 \cdot 5, \ldots, 11 \cdot 13 \), а в знаменателе — квадраты чисел от 2 до 12.

Теперь сосредоточимся на числителе и знаменателе, чтобы упростить их. В числителе у нас будет произведение всех чисел от 1 до 13:

\( 1 \cdot 1 \cdot 1 \ldots 13 \), а в знаменателе произведение чисел от 2 до 12:

\( 2 \cdot 1 \cdot 1 \ldots 12 \).

Упростив это выражение, мы получаем:

\( \frac{13}{24}. \)

Итак, итоговый результат вычисления произведения множителей равен \( \frac{13}{24} \).