ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 16.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Разложите на множители, пользуясь формулой разности квадратов:

1) \( (x + 2)^2 — 49  \)

2) \( (x — 10)^2 — 25y^2  \)

3) \( 25 — (y — 3)^2\)

4) \( (a — 4)^2 — (a + 2)^2 \)

5) \( (m — 10)^2 — (n — 6)^2  \)

6) \( (8y + 4)^2 — (4y — 3)^2  \)

7) \( (5a + 3b)^2 — (2a — 4b)^2\)

8) \( 4(a — b)^2 — (a + b)^2  \)

9) \( (x^2 + x + 1)^2 — (x^2 — x + 2)^2\)

10) \( (-3x^3 + y)^2 — 16x^6  \)

1) \( (x + 2)^2 — 49 = (x + 2)^2 — 7^2 = (x + 2 — 7)(x + 2 + 7) = \)

\( = (x — 5)(x + 9); \)

2) \( (x — 10)^2 — 25y^2 = (x — 10 — 5y)(x — 10 + 5y); \)

3) \( 25 — (y — 3)^2 = (5 — (y — 3))(5 + y — 3) = (5 — y + 3)(5 + y — 3) = \)

\( = (8 — y)(2 + y); \)

4) \( (a — 4)^2 — (a + 2)^2 = (a — 4 — (a + 2))(a — 4 + (a + 2)) = \)

\( = (a — 4 — a — 2)(a — 4 + a + 2) = -6(2a — 2) = -6 \cdot 2(a — 1) = \)

\( = -12(a — 1); \)

5) \( (m — 10)^2 — (n — 6)^2 = (m — 10 — (n — 6))(m — 10 + n — 6) = \)

\( = (m — 10 — n + 6)(m — 10 + n — 6) = (m — 4 — n)(m — 16 + n); \)

6) \( (8y + 4)^2 — (4y — 3)^2 = (8y + 4 — (4y — 3))(8y + 4 + 4y — 3) = \)

\( = (8y + 4 — 4y + 3)(12y + 1) = (4y + 7)(12y + 1); \)

7) \( (5a + 3b)^2 — (2a — 4b)^2 = (5a + 3b — (2a — 4b)) \cdot \)

\( \cdot (5a + 3b + 2a — 4b) = (5a + 3b — 2a + 4b)(7a — b) = \)

\( = (3a + 7b)(7a — b); \)

8) \( 4(a — b)^2 — (a + b)^2 = (2(a — b) — (a + b))(2(a — b) + (a + b)) = \)

\( = (2a — 2b — a — b)(2a — 2b + a + b) = (a — 3b)(3a — b); \)

9) \( (x^2 + x + 1)^2 — (x^2 — x + 2)^2 = \left(x^2 + x + 1 — (x^2 — x + 2)\right) \cdot \)

\( \cdot \left(x^2 + x + 1 + (x^2 — x + 2)\right) = (x^2 + x + 1 — x^2 + x — 2) \cdot \)

\( \cdot (x^2 + x + 1 + x^2 — x + 2) = (2x — 1)(2x^2 + 3); \)

10) \( (-3x^3 + y)^2 — 16x^6 = (-3x^3 + y)^2 — (4x^3)^2 = \)

\( = (-3x^3 + y — 4x^3)(-3x^3 + y + 4x^3) = (y — 7x^3)(y + x^3). \)

Используем основную формулу разности квадратов:

\( A^2 — B^2 = (A — B)(A + B) \).

1) \( (x + 2)^2 — 49 \)

Шаг 1: Представим число \(49\) в виде квадрата: \(49 = 7^2\).

\( (x + 2)^2 — 49 = (x + 2)^2 — 7^2 \)

Шаг 2: Узнаём разность квадратов, где \(A = x + 2\), \(B = 7\).

\( (x + 2)^2 — 7^2 = ((x + 2) — 7)((x + 2) + 7) \)

Шаг 3: Упрощаем скобки:

\( (x + 2 — 7)(x + 2 + 7) = (x — 5)(x + 9) \).

2) \( (x — 10)^2 — 25y^2 \)

Шаг 1: Представим \(25y^2\) как квадрат: \(25y^2 = (5y)^2\).

\( (x — 10)^2 — 25y^2 = (x — 10)^2 — (5y)^2 \)

Шаг 2: Разность квадратов, где \(A = x — 10\), \(B = 5y\):

\( (x — 10)^2 — (5y)^2 = ((x — 10) — 5y)((x — 10) + 5y) \)

Шаг 3: Записываем результат:

\( (x — 10 — 5y)(x — 10 + 5y) \).

3) \( 25 — (y — 3)^2 \)

Шаг 1: Представим \(25\) как квадрат: \(25 = 5^2\).

\( 25 — (y — 3)^2 = 5^2 — (y — 3)^2 \)

Шаг 2: Разность квадратов, где \(A = 5\), \(B = y — 3\):

\( 5^2 — (y — 3)^2 = (5 — (y — 3))(5 + (y — 3)) \)

Шаг 3: Упрощаем каждую скобку:

\( 5 — (y — 3) = 5 — y + 3 = 8 — y \)

\( 5 + (y — 3) = 5 + y — 3 = 2 + y \)

Шаг 4: Записываем разложение:

\( (8 — y)(2 + y) \).

4) \( (a — 4)^2 — (a + 2)^2 \)

Шаг 1: Это разность квадратов, где \(A = a — 4\), \(B = a + 2\).

\( (a — 4)^2 — (a + 2)^2 = ((a — 4) — (a + 2))((a — 4) + (a + 2)) \)

Шаг 2: Упрощаем первую скобку:

\( (a — 4) — (a + 2) = a — 4 — a — 2 = -6 \)

Шаг 3: Упрощаем вторую скобку:

\( (a — 4) + (a + 2) = a — 4 + a + 2 = 2a — 2 \)

Шаг 4: Перемножаем упрощённые множители:

\( -6(2a — 2) \)

Шаг 5: Выносим \(2\) из скобки \(2a — 2\):

\( 2a — 2 = 2(a — 1) \)

Шаг 6: Получаем окончательно:

\( -6 \cdot 2(a — 1) = -12(a — 1) \).

5) \( (m — 10)^2 — (n — 6)^2 \)

Шаг 1: Разность квадратов, где \(A = m — 10\), \(B = n — 6\).

\( (m — 10)^2 — (n — 6)^2 = ((m — 10) — (n — 6))((m — 10) + (n — 6)) \)

Шаг 2: Упрощаем первую скобку:

\( (m — 10) — (n — 6) = m — 10 — n + 6 = m — n — 4 \)

Шаг 3: Упрощаем вторую скобку:

\( (m — 10) + (n — 6) = m — 10 + n — 6 = m + n — 16 \)

Шаг 4: Записываем результат:

\( (m — n — 4)(m + n — 16) \).

6) \( (8y + 4)^2 — (4y — 3)^2 \)

Шаг 1: Разность квадратов, где \(A = 8y + 4\), \(B = 4y — 3\).

\( (8y + 4)^2 — (4y — 3)^2 = ((8y + 4) — (4y — 3))((8y + 4) + (4y — 3)) \)

Шаг 2: Упрощаем первую скобку:

\( (8y + 4) — (4y — 3) = 8y + 4 — 4y + 3 = 4y + 7 \)

Шаг 3: Упрощаем вторую скобку:

\( (8y + 4) + (4y — 3) = 8y + 4 + 4y — 3 = 12y + 1 \)

Шаг 4: Записываем результат:

\( (4y + 7)(12y + 1) \).

7) \( (5a + 3b)^2 — (2a — 4b)^2 \)

Шаг 1: Разность квадратов, где \(A = 5a + 3b\), \(B = 2a — 4b\).

\( (5a + 3b)^2 — (2a — 4b)^2 = ((5a + 3b) — (2a — 4b))((5a + 3b) + (2a — 4b)) \)

Шаг 2: Упрощаем первую скобку:

\( (5a + 3b) — (2a — 4b) = 5a + 3b — 2a + 4b = 3a + 7b \)

Шаг 3: Упрощаем вторую скобку:

\( (5a + 3b) + (2a — 4b) = 5a + 3b + 2a — 4b = 7a — b \)

Шаг 4: Записываем результат:

\( (3a + 7b)(7a — b) \).

8) \( 4(a — b)^2 — (a + b)^2 \)

Шаг 1: Представим \(4(a — b)^2\) как квадрат: \(4(a — b)^2 = (2(a — b))^2\).

\( 4(a — b)^2 — (a + b)^2 = (2(a — b))^2 — (a + b)^2 \)

Шаг 2: Разность квадратов, где \(A = 2(a — b)\), \(B = a + b\):

\( (2(a — b))^2 — (a + b)^2 = (2(a — b) — (a + b))(2(a — b) + (a + b)) \)

Шаг 3: Упрощаем первую скобку:

\( 2(a — b) — (a + b) = 2a — 2b — a — b = a — 3b \)

Шаг 4: Упрощаем вторую скобку:

\( 2(a — b) + (a + b) = 2a — 2b + a + b = 3a — b \)

Шаг 5: Записываем результат:

\( (a — 3b)(3a — b) \).

9) \( (x^2 + x + 1)^2 — (x^2 — x + 2)^2 \)

Шаг 1: Разность квадратов, где \(A = x^2 + x + 1\), \(B = x^2 — x + 2\).

\( (x^2 + x + 1)^2 — (x^2 — x + 2)^2 = (A^2 — B^2) = (A — B)(A + B) \)

Шаг 2: Находим \(A — B\):

\( A — B = (x^2 + x + 1) — (x^2 — x + 2) \)

\( = x^2 + x + 1 — x^2 + x — 2 = 2x — 1 \)

Шаг 3: Находим \(A + B\):

\( A + B = (x^2 + x + 1) + (x^2 — x + 2) \)

\( = x^2 + x + 1 + x^2 — x + 2 = 2x^2 + 3 \)

Шаг 4: Записываем разложение:

\( (2x — 1)(2x^2 + 3) \).

10) \( (-3x^3 + y)^2 — 16x^6 \)

Шаг 1: Представим \(16x^6\) как квадрат: \(16x^6 = (4x^3)^2\), так как \((4x^3)^2 = 16x^6\).

\( (-3x^3 + y)^2 — 16x^6 = (-3x^3 + y)^2 — (4x^3)^2 \)

Шаг 2: Разность квадратов, где \(A = -3x^3 + y\), \(B = 4x^3\):

\( A^2 — B^2 = (A — B)(A + B) \)

\( (-3x^3 + y)^2 — (4x^3)^2 = (-3x^3 + y — 4x^3)(-3x^3 + y + 4x^3) \)

Шаг 3: Упрощаем первую скобку:

\( -3x^3 + y — 4x^3 = y — 7x^3 \)

Шаг 4: Упрощаем вторую скобку:

\( -3x^3 + y + 4x^3 = y + x^3 \)

Шаг 5: Записываем результат:

\( (y — 7x^3)(y + x^3) \).