ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 17.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Представьте в виде многочлена выражение:

1) \( (0,02p^3k + 20p^2k^4)^2 \)

2) \( \left(1\frac{1}{6}mn — \frac{4}{21}m^2n^5\right)^2 \)

3) \( -15\left(\frac{1}{3}a — \frac{1}{5}b\right)^2 \)

4) \( 7x(x^3 — 2x)^2 \)

5) \( (5y — 2)^2(2y + 1) \)

6) \( (10p — k)^2(10p + k)^2 \)

7) \( (m — 2n + 3)^2 \)

1) \( (0,02p^3k + 20p^2k^4)^2 = (0,02p^3k)^2 + 2 \cdot 0,02p^3k \cdot 20p^2k^4 + \)
\(+ (20p^2k^4)^2 = 0,0004p^6k^2 + 0,8p^5k^5 + 400p^4k^8; \)

2) \( \left(1\frac{1}{6}mn — \frac{4}{21}m^2n^5\right)^2 = \left(\frac{7}{6}mn — \frac{4}{21}m^2n^5\right)^2 = \left(\frac{7}{6}mn\right)^2 — \)
\(- 2 \cdot \frac{7}{6}mn \cdot \frac{4}{21}m^2n^5 + \left(\frac{4}{21}m^2n^5\right)^2 = \frac{49}{36}m^2n^2 — \frac{4}{9}m^3n^6 + \frac{16}{441}m^4n^{10} = \)
\( = 1\frac{13}{36}m^2n^2 — \frac{4}{9}m^3n^6 + \frac{16}{441}m^4n^{10}; \)

3) \( -15\left(\frac{1}{3}a — \frac{1}{5}b\right)^2 = -15 \cdot \left(\frac{1}{9}a^2 — \frac{2}{15}ab + \frac{1}{25}b^2\right) = \)
\( = -15 \cdot \frac{1}{9}a^2 + 15 \cdot \frac{2}{15}ab — 15 \cdot \frac{1}{25}b^2 = -\frac{5}{3}a^2 + 2ab — \frac{3}{5}b^2 = \)
\( = -1\frac{2}{3}a^2 + 2ab — \frac{3}{5}b^2; \)

4) \( 7x(x^3 — 2x)^2 = 7x \cdot (x^6 — 4x^4 + 4x^2) = 7x^7 — 28x^5 + 28x^3; \)

5) \( (5y — 2)^2(2y + 1) = (25y^2 — 20y + 4)(2y + 1) = \)
\( = 50y^3 + 25y^2 — 40y^2 — 20y + 8y + 4 = 50y^3 — 15y^2 — 12y + 4; \)

6) \( (10p — k)^2(10p + k)^2 = ((10p — k)(10p + k))^2 = (100p^2 — k^2)^2 = \)
\( = (100p^2 — k^2)^2 = 10000p^4 — 200p^2k^2 + k^4; \)

7) \( (m — 2n + 3)^2 = (m — 2n + 3)(m — 2n + 3) = m^2 — 2mn + 3m — \)
\( — 2mn + 4n^2 — 6n + 3m — 6n + 9 = m^2 + 4n^2 + 9 — 4mn + 6m — 12n. \)

1) \( (0,02p^3k + 20p^2k^4)^2 \)

Сначала применим формулу квадрата суммы \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \), где \( a = 0,02p^3k \) и \( b = 20p^2k^4 \):

\( (0,02p^3k + 20p^2k^4)^2 = (0,02p^3k)^2 + 2 \cdot (0,02p^3k) \cdot (20p^2k^4) + (20p^2k^4)^2 \)

Теперь вычислим каждый из членов:

1. \( (0,02p^3k)^2 = 0,0004p^6k^2 \)
2. \( 2 \cdot (0,02p^3k) \cdot (20p^2k^4) = 0,8p^5k^5 \)
3. \( (20p^2k^4)^2 = 400p^4k^8 \)

Соединяем все эти выражения:

\( (0,02p^3k + 20p^2k^4)^2 = 0,0004p^6k^2 + 0,8p^5k^5 + 400p^4k^8 \)

Ответ: \( 0,0004p^6k^2 + 0,8p^5k^5 + 400p^4k^8 \)

2) \( \left(1\frac{1}{6}mn — \frac{4}{21}m^2n^5\right)^2 \)

Приводим смешанное число \( 1\frac{1}{6} \) к неправильной дроби:

\( 1\frac{1}{6} = \frac{7}{6} \)

Теперь используем формулу квадрата разности \( (a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2 \), где \( a = \frac{7}{6}mn \) и \( b = \frac{4}{21}m^2n^5 \):

\( \left( \frac{7}{6}mn — \frac{4}{21}m^2n^5 \right)^2 = \left( \frac{7}{6}mn \right)^2 — 2 \cdot \frac{7}{6}mn \cdot \frac{4}{21}m^2n^5 + \left( \frac{4}{21}m^2n^5 \right)^2 \)

Вычисляем каждый из членов:

1. \( \left( \frac{7}{6}mn \right)^2 = \frac{49}{36}m^2n^2 \)
2. \( — 2 \cdot \frac{7}{6}mn \cdot \frac{4}{21}m^2n^5 = — \frac{4}{9}m^3n^6 \)
3. \( \left( \frac{4}{21}m^2n^5 \right)^2 = \frac{16}{441}m^4n^{10} \)

Соединяем все эти выражения:

\( \left( \frac{7}{6}mn — \frac{4}{21}m^2n^5 \right)^2 = \frac{49}{36}m^2n^2 — \frac{4}{9}m^3n^6 + \frac{16}{441}m^4n^{10} \)

Ответ: \( \frac{49}{36}m^2n^2 — \frac{4}{9}m^3n^6 + \frac{16}{441}m^4n^{10} \)

3) \( -15\left(\frac{1}{3}a — \frac{1}{5}b\right)^2 \)

Используем формулу квадрата разности \( (a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2 \), где \( a = \frac{1}{3}a \) и \( b = \frac{1}{5}b \):

\( \left( \frac{1}{3}a — \frac{1}{5}b \right)^2 = \left( \frac{1}{3}a \right)^2 — 2 \cdot \frac{1}{3}a \cdot \frac{1}{5}b + \left( \frac{1}{5}b \right)^2 \)

Вычисляем каждый из членов:

1. \( \left( \frac{1}{3}a \right)^2 = \frac{1}{9}a^2 \)
2. \( — 2 \cdot \frac{1}{3}a \cdot \frac{1}{5}b = — \frac{2}{15}ab \)
3. \( \left( \frac{1}{5}b \right)^2 = \frac{1}{25}b^2 \)

Теперь умножим все на \( -15 \):

\( -15 \cdot \left( \frac{1}{9}a^2 — \frac{2}{15}ab + \frac{1}{25}b^2 \right) \)

Вычисляем:

1. \( -15 \cdot \frac{1}{9}a^2 = -\frac{5}{3}a^2 \)
2. \( -15 \cdot \frac{2}{15}ab = 2ab \)
3. \( -15 \cdot \frac{1}{25}b^2 = -\frac{3}{5}b^2 \)

Ответ: \( -\frac{5}{3}a^2 + 2ab — \frac{3}{5}b^2 \)

4) \( 7x(x^3 — 2x)^2 \)

Сначала раскроем скобки в \( (x^3 — 2x)^2 \):

\( (x^3 — 2x)^2 = x^6 — 4x^4 + 4x^2 \)

Теперь умножим на \( 7x \):

\( 7x \cdot (x^6 — 4x^4 + 4x^2) = 7x^7 — 28x^5 + 28x^3 \)

Ответ: \( 7x^7 — 28x^5 + 28x^3 \)

5) \( (5y — 2)^2(2y + 1) \)

Сначала раскроем скобки в \( (5y — 2)^2 \):

\( (5y — 2)^2 = 25y^2 — 20y + 4 \)

Теперь умножим на \( (2y + 1) \):

\( (25y^2 — 20y + 4)(2y + 1) \)

Применяем распределение:

\( = 50y^3 + 25y^2 — 40y^2 — 20y + 8y + 4 \)

Теперь соберем подобные слагаемые:

\( 50y^3 — 15y^2 — 12y + 4 \)

Ответ: \( 50y^3 — 15y^2 — 12y + 4 \)

6) \( (10p — k)^2(10p + k)^2 \)

Используем формулу квадрата произведения \( (a — b)(a + b) = a^2 — b^2 \):

\( (10p — k)(10p + k) = 100p^2 — k^2 \)

Теперь возведем это в квадрат:

\( (100p^2 — k^2)^2 = 10000p^4 — 200p^2k^2 + k^4 \)

Ответ: \( 10000p^4 — 200p^2k^2 + k^4 \)

7) \( (m — 2n + 3)^2 \)

Используем формулу квадрата тройки \( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \):

\( (m — 2n + 3)^2 = m^2 + (-2n)^2 + 3^2 + 2 \cdot m \cdot (-2n) + 2 \cdot m \cdot 3 +\)

\(+ 2 \cdot (-2n) \cdot 3 \)

Теперь вычислим:

\( m^2 + 4n^2 + 9 — 4mn + 6m — 12n \)

Ответ: \( m^2 + 4n^2 + 9 — 4mn + 6m — 12n \)