ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 17.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите тождество:

1) \(a^2 + b^2 = (a — b)^2 + 2ab\)

2) \((a — b)^2 + (ab + 1)^2 = (a^2 + 1)(b^2 + 1)\)

1) \(a^2 + b^2 = (a — b)^2 + 2ab\)

\(a^2 + b^2 = a^2 — 2ab + b^2 + 2ab\)

\(a^2 + b^2 = a^2 + b^2 \to\) что и требовалось доказать.

2) \((a — b)^2 + (ab + 1)^2 = (a^2 + 1)(b^2 + 1)\)

\(a^2 — 2ab + b^2 + a^2b^2 + 2ab + 1 = (a^2 + 1)(b^2 + 1)\)

\(a^2 + a^2b^2 + b^2 + 1 = (a^2 + 1)(b^2 + 1)\)

\(a^2(b^2 + 1) + (b^2 + 1) = (a^2 + 1)(b^2 + 1)\)

\((b^2 + 1)(a^2 + 1) = (a^2 + 1)(b^2 + 1)\)

\((a^2 + 1)(b^2 + 1) = (a^2 + 1)(b^2 + 1) \to\) что и требовалось доказать.

1) \(a^2 + b^2 = (a — b)^2 + 2ab\)

Шаг 1. Раскроем правую часть уравнения. Начнем с раскрытия \((a — b)^2\):

\((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\)

Теперь подставим это в правую часть уравнения:

\(a^2 + b^2 = a^2 — 2ab + b^2 + 2ab\)

Шаг 2. Упростим правую часть уравнения. Объединим подобные члены:

\(a^2 + b^2 = a^2 + b^2\), что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2) \((a — b)^2 + (ab + 1)^2 = (a^2 + 1)(b^2 + 1)\)

Шаг 1. Раскроем обе части уравнения. Начнем с раскрытия \((a — b)^2\):

\((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\)

Теперь раскроем \((ab + 1)^2\):

\((ab + 1)^2 = a^2b^2 + 2ab + 1\)

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

\(a^2 — 2ab + b^2 + a^2b^2 + 2ab + 1 = (a^2 + 1)(b^2 + 1)\)

Шаг 2. Упростим левую часть уравнения, объединив подобные члены:

\(a^2 + b^2 + a^2b^2 + 1 = a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1\)

Шаг 3. Теперь мы видим, что левая и правая части уравнения совпадают, что и требовалось доказать:

\(a^2 + b^2 + a^2b^2 + 1 = (a^2 + 1)(b^2 + 1)\)

Ответ: Тождество доказано.