ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 17.32 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Древнегреческий учёный Евклид (III в. до н. э.) доказывал формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений геометрически. Пользуясь рисунками 17.1 и 17.2, восстановите его доказательство.

Рисунок 17.1 — формула квадрата суммы:

Чтобы найти площадь всего квадрата, можно перемножить его стороны, тогда: \((a + b)(a + b) = (a + b)^2.\)

Или, можно к площади квадрата со стороной \(a\) прибавить площадь двух прямоугольников, стороны которого равны \(a\) и \(b,\) и прибавить площадь квадрата со стороной \(b,\) тогда:

\(a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2.\)

Отсюда следует, что:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\)

Что и требовалось доказать.

Рисунок 17.2 — формула квадрата разности:

Чтобы найти площадь квадрата со стороной \((a — b),\) можно перемножить его стороны, тогда: \((a — b)(a — b) = (a — b)^2.\)

Или, можно из площади квадрата со стороной \(a\) вычесть площадь двух прямоугольников, стороны которого равны \(a\) и \(b,\) и прибавить площадь квадрата со стороной \(b,\) тогда:

\(a^2 — ab — ab + b^2 = a^2 — 2ab + b^2.\)

Отсюда следует, что:

\((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2.\)

Что и требовалось доказать.

Доказательство квадрата суммы:

Рассмотрим квадрат, у которого одна из сторон равна \(a + b\). Площадь этого квадрата можно найти двумя способами.

Шаг 1. Первый способ — перемножить его стороны. Тогда площадь квадрата будет равна:

\((a + b)(a + b) = (a + b)^2.\)

Шаг 2. Второй способ — разложить его на части. Мы можем разделить этот квадрат на три части: один маленький квадрат со стороной \(a\), другой маленький квадрат со стороной \(b\), и два прямоугольника, у которых одна сторона равна \(a\), а другая — \(b\). Таким образом, площадь квадрата можно записать как:

\(a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2.\)

Шаг 3. Сравнив оба способа, мы приходим к формуле для квадрата суммы:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\)

Что и требовалось доказать.

Доказательство квадрата разности:

Рассмотрим квадрат, у которого одна из сторон равна \(a — b\). Площадь этого квадрата можно найти также двумя способами.

Шаг 1. Первый способ — перемножить его стороны. Тогда площадь квадрата будет равна:

\((a — b)(a — b) = (a — b)^2.\)

Шаг 2. Второй способ — разложить этот квадрат на части. Мы можем из площади квадрата со стороной \(a\) вычесть площадь двух прямоугольников, стороны которых равны \(a\) и \(b\), и прибавить площадь квадрата со стороной \(b\). Таким образом, площадь квадрата будет равна:

\(a^2 — ab — ab + b^2 = a^2 — 2ab + b^2.\)

Шаг 3. Сравнив оба способа, мы приходим к формуле для квадрата разности:

\((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2.\)

Что и требовалось доказать.