ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 17.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Чему равен остаток при делении квадрата нечётного натурального числа на 8?

Пусть дано нечетное натуральное число \((4n — 1).\)

Тогда:

\((4n — 1)^2 = 16n^2 — 8n + 1 = 8(2n^2 — n) + 1 \to\) значит, при делении данного числа на 8 остаток равен 1.

Ответ: 1.

Для начала, рассмотрим общее представление нечётного числа. Пусть нечётное число имеет вид \( 2n — 1 \), где \( n \) — натуральное число.

Шаг 1. Найдем квадрат нечётного числа:

\((2n — 1)^2\)

Шаг 2. Раскроем скобки в выражении для квадрата:

\((2n — 1)^2 = (2n)^2 — 2 \cdot 2n \cdot 1 + 1^2 = 4n^2 — 4n + 1\)

Шаг 3. Теперь, нам нужно найти остаток от деления этого выражения на 8. Для этого рассмотрим остаток от деления каждой из частей:

Часть 1: \(4n^2\) — это выражение всегда делится на 4, но нужно понять, как оно ведет себя при делении на 8. Рассмотрим \(n\) по модулю 2.

Если \(n\) — чётное, то \(n = 2k\) для некоторого целого \(k\), и \(4n^2 = 4(2k)^2 = 16k^2\), то есть делится на 8.

Если \(n\) — нечётное, то \(n = 2k + 1\), и \(4n^2 = 4(2k + 1)^2 = 4(4k^2 + 4k + 1) = 16k^2 + 16k + 4\), то есть также делится на 4, но не на 8.

Часть 2: \(-4n\) — это выражение при делении на 8 даст остаток, зависящий от \(n\). Если \(n\) нечётное, то остаток будет 4.

Часть 3: \(+1\) — всегда дает остаток 1 при делении на 8.

Шаг 4. Теперь комбинируем все части:

Для чётного \(n\), остаток от деления на 8 равен \(0 + 0 + 1 = 1\).

Для нечётного \(n\), остаток от деления на 8 равен \(0 + 4 + 1 = 5\).

Шаг 5. Следовательно, остаток при делении квадрата нечётного числа на 8 всегда равен 1, так как нечётные числа дают всегда остаток 1 при делении на 8.

Ответ: остаток при делении квадрата нечётного натурального числа на 8 равен 1.