ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 17.35 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Выясните, какой остаток может давать квадрат натурального числа при делении на 4.

Пусть дано четное натуральное число \(2n\).

Тогда:

\((2n)^2 = 4n^2 \to\) при делении на 4 остаток равен 0.

Пусть дано нечетное натуральное число \((2n — 1).\)

Тогда:

\((2n — 1)^2 = 4n^2 — 4n + 1 = 4(n^2 — n) + 1 \to\) при делении на 4 остаток равен 1.

Ответ: 0 или 1.

Для того чтобы выяснить, какой остаток может давать квадрат натурального числа при делении на 4, рассмотрим возможные значения натурального числа \(n\) по модулю 4. Это поможет нам исследовать остаток от деления квадрата на 4.

Шаг 1. Рассмотрим все возможные значения \(n\) по модулю 4. Натуральные числа могут быть представлены в одной из следующих форм:

1. \(n \equiv 0 \pmod{4}\) (число делится на 4),

2. \(n \equiv 1 \pmod{4}\) (число при делении на 4 дает остаток 1),

3. \(n \equiv 2 \pmod{4}\) (число при делении на 4 дает остаток 2),

4. \(n \equiv 3 \pmod{4}\) (число при делении на 4 дает остаток 3).

Шаг 2. Теперь вычислим квадрат каждого из этих чисел и найдем остаток от их деления на 4:

1. Если \(n \equiv 0 \pmod{4}\), то \(n = 4k\) для некоторого целого \(k\). Тогда квадрат числа \(n\) будет:

\((4k)^2 = 16k^2\),

и остаток от деления на 4 будет:

\(16k^2 \div 4 = 4k^2 \), остаток равен 0.

2. Если \(n \equiv 1 \pmod{4}\), то \(n = 4k + 1\) для некоторого целого \(k\). Тогда квадрат числа \(n\) будет:

\((4k + 1)^2 = 16k^2 + 8k + 1\),

и остаток от деления на 4 будет:

\((16k^2 + 8k + 1) \div 4 = 4k^2 + 2k + \frac{1}{4}\), остаток равен 1.

3. Если \(n \equiv 2 \pmod{4}\), то \(n = 4k + 2\) для некоторого целого \(k\). Тогда квадрат числа \(n\) будет:

\((4k + 2)^2 = 16k^2 + 16k + 4\),

и остаток от деления на 4 будет:

\((16k^2 + 16k + 4) \div 4 = 4k^2 + 4k + 1\), остаток равен 0.

4. Если \(n \equiv 3 \pmod{4}\), то \(n = 4k + 3\) для некоторого целого \(k\). Тогда квадрат числа \(n\) будет:

\((4k + 3)^2 = 16k^2 + 24k + 9\),

и остаток от деления на 4 будет:

\((16k^2 + 24k + 9) \div 4 = 4k^2 + 6k + \frac{1}{4}\), остаток равен 1.

Шаг 3. Из всех вычислений видно, что квадрат любого натурального числа \(n\) может дать остаток от деления на 4, который равен либо 0, либо 1.

Ответ: Остаток при делении квадрата натурального числа на 4 может быть равен 0 или 1.