ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 17.36 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что разность суммы квадратов двух последовательных целых чисел и их удвоенного произведения не зависит от выбора чисел.

Пусть даны два последовательных целых числа: \(n\) и \((n + 1).\)

Тогда:

\((n^2 + (n + 1)^2) — 2n(n + 1) = n^2 + n^2 + 2n + 1 — 2n^2 — 2n = 1 \to\)

значение выражения не зависит от значения переменной, то есть, разность суммы квадратов двух последовательных целых чисел и их удвоенного произведения не зависит от выбора чисел.

Что и требовалось доказать.

Пусть даны два последовательных целых числа: \(n\) и \(n + 1\). Нам нужно доказать, что разность суммы квадратов этих чисел и их удвоенного произведения всегда равна 1, независимо от выбора числа \(n\).

Шаг 1. Запишем выражение для разности суммы квадратов двух последовательных чисел и их удвоенного произведения. Это выражение имеет вид:

\((n^2 + (n + 1)^2) — 2n(n + 1)\)

Шаг 2. Теперь раскроем скобки и упростим выражение. Начнем с раскрытия квадратов:

\((n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1\)

Теперь подставим это в исходное выражение:

\((n^2 + (n^2 + 2n + 1)) — 2n(n + 1)\)

Шаг 3. Упростим выражение, объединив подобные члены:

\(n^2 + n^2 + 2n + 1 — 2n(n + 1)\)

Шаг 4. Теперь раскроем скобки во второй части выражения \(2n(n + 1)\):

\(2n(n + 1) = 2n^2 + 2n\)

Теперь подставим это в выражение:

\(n^2 + n^2 + 2n + 1 — (2n^2 + 2n)\)

Шаг 5. Упростим выражение, снова объединив подобные члены:

\(n^2 + n^2 + 2n + 1 — 2n^2 — 2n\)

Шаг 6. Сокращаем \(n^2\) и \(2n\):

\(2n^2 — 2n^2 + 2n — 2n + 1 = 1\)

Шаг 7. Мы получили, что разность суммы квадратов двух последовательных целых чисел и их удвоенного произведения всегда равна 1, независимо от того, какое значение принимает \(n\):

\(= 1\)

Ответ: Разность суммы квадратов двух последовательных целых чисел и их удвоенного произведения не зависит от выбора чисел и всегда равна 1.