ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 17.37 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если остаток при делении натурального числа на 16 равен 4, то квадрат этого числа делится нацело на 16.

Пусть дано число \(m\), тогда \(m = 16a + 4.\)

Докажем, что квадрат данного числа делится нацело на 16:

\(m^2 = (16a + 4)^2 = 256a^2 + 128a + 16 = 16(16a^2 + 8a + 1) \to\)

так как множитель 16 делится нацело на 16, то и все выражение делится нацело на 16.

Что и требовалось доказать.

Пусть дано натуральное число \(m\), и известно, что остаток при делении этого числа на 16 равен 4. Это можно записать как:

\(m = 16a + 4\), где \(a\) — некоторое целое число, и \(m \equiv 4 \pmod{16}\).

Теперь докажем, что квадрат этого числа \(m^2\) делится нацело на 16.

Шаг 1. Найдем квадрат числа \(m\):

\(m^2 = (16a + 4)^2\)

Шаг 2. Раскроем скобки в выражении для квадрата:

\((16a + 4)^2 = (16a)^2 + 2 \cdot 16a \cdot 4 + 4^2 = 256a^2 + 128a + 16\)

Шаг 3. Перепишем это выражение, выделяя множитель 16:

\(m^2 = 16(16a^2 + 8a + 1)\)

Шаг 4. Видим, что выражение \(m^2\) содержит множитель 16, следовательно, оно делится на 16 нацело, независимо от значения \(a\).

Таким образом, мы доказали, что если остаток при делении натурального числа на 16 равен 4, то квадрат этого числа делится нацело на 16.

Ответ: Квадрат числа делится на 16.