ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 17.38 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если остаток при делении натурального числа на 25 равен 5, то квадрат этого числа кратен 25.

Пусть дано число \(m\), тогда \(m = 25b + 5.\)

Докажем, что квадрат данного числа кратен 25:

\(m^2 = (25b + 5)^2 = 625b^2 + 250b + 25 = 25(25b^2 + 10b + 1) \to\)

так как множитель 25 делится нацело на 25, то и все выражение кратно 25.

Что и требовалось доказать.

Пусть дано натуральное число \(m\), и известно, что остаток при делении этого числа на 25 равен 5. Это можно записать как:

\(m = 25b + 5\), где \(b\) — некоторое целое число, и \(m \equiv 5 \pmod{25}\).

Теперь докажем, что квадрат этого числа \(m^2\) кратен 25.

Шаг 1. Найдем квадрат числа \(m\):

\(m^2 = (25b + 5)^2\)

Шаг 2. Раскроем скобки в выражении для квадрата:

\((25b + 5)^2 = (25b)^2 + 2 \cdot 25b \cdot 5 + 5^2 = 625b^2 + 250b + 25\)

Шаг 3. Перепишем это выражение, выделяя множитель 25:

\(m^2 = 25(25b^2 + 10b + 1)\)

Шаг 4. Видим, что выражение \(m^2\) содержит множитель 25, следовательно, оно кратно 25 нацело, независимо от значения \(b\).

Таким образом, мы доказали, что если остаток при делении натурального числа на 25 равен 5, то квадрат этого числа кратен 25.

Ответ: Квадрат числа кратен 25.