ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 17.42 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Используя формулы сокращенного умножения, представьте в виде многочлена выражение:

1) \( (a — b — c)(a + b — c) \)

2) \( (a — b + c + d)(a — b — c — d)  \)

1) \( (a — b — c)(a + b — c) = (a — c — b)(a — c + b) = (a — c)^2 — b^2 = \)
\( = a^2 — 2ac + c^2 — b^2; \)

2) \( (a — b + c + d)(a — b — c — d) = (a — b)^2 — (c + d)^2 = \)
\( = a^2 — 2ab + b^2 — c^2 — 2cd — d^2. \)

1) \( (a — b — c)(a + b — c) \)

Это произведение двух скобок. Для раскрытия этого произведения будем использовать формулу разности квадратов. Напоминаю, что формула разности квадратов выглядит так:

\( (x — y)(x + y) = x^2 — y^2 \)

В нашем случае, \( x = (a — c) \), а \( y = b \). Следовательно, получаем:

\( (a — b — c)(a + b — c) = (a — c)^2 — b^2 \)

Теперь раскроем квадрат \( (a — c)^2 \) по формуле \( (x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2 \), где \( x = a \) и \( y = c \):

\( (a — c)^2 = a^2 — 2ac + c^2 \)

Таким образом, выражение становится:

\( (a — b — c)(a + b — c) = a^2 — 2ac + c^2 — b^2 \)

Ответ:

\( (a — b — c)(a + b — c) = a^2 — 2ac + c^2 — b^2 \)

2) \( (a — b + c + d)(a — b — c — d) \)

Снова применим формулу разности квадратов:

\( (a — b + c + d)(a — b — c — d) = (a — b)^2 — (c + d)^2 \)

Теперь раскроем квадрат \( (a — b)^2 \) по формуле \( (x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2 \), где \( x = a \) и \( y = b \):

\( (a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2 \)

Теперь раскроем квадрат \( (c + d)^2 \) по формуле \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \), где \( x = c \) и \( y = d \):

\( (c + d)^2 = c^2 + 2cd + d^2 \)

Таким образом, выражение становится:

\( (a — b + c + d)(a — b — c — d) = a^2 — 2ab + b^2 — c^2 — 2cd — d^2 \)

Ответ:

\( (a — b + c + d)(a — b — c — d) = a^2 — 2ab + b^2 — c^2 — 2cd — d^2 \)