ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 17.44 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каком значении a (2a — 3x)² + (x — 1)² = 10(x — 2)(x + 2) уравнение не имеет корней?

\( (2a — 3x)^2 + (x — 1)^2 = 10(x — 2)(x + 2) \)

\( 4a^2 — 12ax + 9x^2 + x^2 — 2x + 1 = 10(x^2 — 4) \)

\( 4a^2 — 12ax + 10x^2 — 2x + 1 = 10x^2 — 40 \)

\( 4a^2 — 12ax — 2x = -40 — 1 \)

\( 4a^2 — 12ax — 2x = -41 \)

\( -2x(6a + 1) = -41 — 4a^2 \)

\( 2x(6a + 1) = 41 + 4a^2. \)

Уравнение не имеет корней при:

\( 6a + 1 = 0 \) и \( 41 + 4a^2 \ne 0 \)

\( 6a = -1 \) \(\qquad\) \( 4a^2 \ne -41 \)

\( a = -\frac{1}{6} \) \(\qquad\) корней нет.

Ответ: при \( a = -\frac{1}{6}. \)

Дано уравнение:

\( (2a — 3x)^2 + (x — 1)^2 = 10(x — 2)(x + 2) \)

Шаг 1. Раскроем скобки в каждой из частей уравнения.

Для левой части уравнения: \( (2a — 3x)^2 = 4a^2 — 12ax + 9x^2 \), \( (x — 1)^2 = x^2 — 2x + 1 \).

Для правой части уравнения: \( 10(x — 2)(x + 2) = 10(x^2 — 4) = 10x^2 — 40 \).

Таким образом, уравнение примет вид:

\( 4a^2 — 12ax + 9x^2 + x^2 — 2x + 1 = 10x^2 — 40 \)

Шаг 2. Приведем подобные члены.

Слева: \( 9x^2 + x^2 = 10x^2 \), и \( -12ax — 2x = -2x(6a + 1) \), а \( 4a^2 + 1 \) остаются без изменений.

Справа: \( 10x^2 — 40 \) остаются такими, как есть.

Теперь уравнение выглядит так:

\( 4a^2 — 2x(6a + 1) + 1 = 10x^2 — 40 \)

Шаг 3. Переносим все элементы с \( x^2 \) в одну сторону, а все остальные — в другую сторону:

\( 10x^2 — 10x^2 — 2x(6a + 1) = -40 — 4a^2 — 1 \)

\( -2x(6a + 1) = -41 — 4a^2 \)

Шаг 4. Вынесем \( x \) за скобки:

\( x(6a + 1) = \frac{41 + 4a^2}{2} \)

Шаг 5. Чтобы уравнение не имело корней, выражение с \( x \) должно быть неопределенным. Это возможно, если знаменатель \( (6a + 1) \) равен нулю.

Таким образом, уравнение не имеет корней, когда:

\( 6a + 1 = 0 \)

Решаем это уравнение:

\( 6a = -1 \)

\( a = -\frac{1}{6} \)

Шаг 6. Проверим, не приводит ли это к делению на ноль в другом месте. Если \( a = -\frac{1}{6} \), то знаменатель становится нулевым, и уравнение не имеет корней.

Ответ: уравнение не имеет корней при \( a = -\frac{1}{6} \).