ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 17.46 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может являться квадратом натурального числа.

Пусть даны пять последовательных натуральных чисел: \( (n — 2), (n — 1), n, (n + 1), (n + 2). \)

Тогда:

\( (n — 2)^2 + (n — 1)^2 + n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2 = n^2 — 4n + 4 + \)

\( + n^2 — 2n + 1 + n^2 + n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 4 = 5n^2 + 10 = \)

\( = 5(n^2 + 2). \)

Чтобы значение выражения \( 5(n^2 + 2) \) было квадратом какого-либо натурального числа, значение выражения \( (n^2 + 2) \) должно быть кратным 5.

При \( n = 1, \quad 1^2 + 2 = 3; \)

при \( n = 2, \quad 2^2 + 2 = 6; \)

при \( n = 3, \quad 3^2 + 2 = 11; \)

при \( n = 4, \quad 4^2 + 2 = 18; \)

при \( n = 5, \quad 5^2 + 2 = 27; \)

при \( n = 6, \quad 6^2 + 2 = 38; \)

при \( n = 7, \quad 7^2 + 2 = 51; \)

при \( n = 8, \quad 8^2 + 2 = 66; \)

при \( n = 9, \quad 9^2 + 2 = 81. \)

Значит, значение выражения \( (n^2 + 2) \) не при каких \( n \) не кратно 5.

Следовательно, значение выражения \( 5(n^2 + 2) \) не может являться квадратом натурального числа.

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим пять последовательных натуральных чисел:

\( (n — 2), (n — 1), n, (n + 1), (n + 2) \), где \( n \) — некоторое натуральное число.

Необходимо доказать, что сумма квадратов этих пяти чисел не может быть квадратом натурального числа.

Шаг 1. Запишем сумму квадратов этих пяти чисел:

\( (n — 2)^2 + (n — 1)^2 + n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2 \).

Шаг 2. Раскроем скобки в каждом из слагаемых:

\( (n — 2)^2 = n^2 — 4n + 4, \)

\( (n — 1)^2 = n^2 — 2n + 1, \)

\( n^2 = n^2, \)

\( (n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1, \)

\( (n + 2)^2 = n^2 + 4n + 4. \)

Шаг 3. Подставим раскрытые выражения в исходную сумму:

\( (n — 2)^2 + (n — 1)^2 + n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2 =\)

\(= (n^2 — 4n + 4) + (n^2 — 2n + 1) + n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4) \).

Шаг 4. Приведем подобные члены:

\( = n^2 + n^2 + n^2 + n^2 + n^2 + (-4n — 2n + 2n + 4n) + (4 + 1 + 1 + 4) \).

Шаг 5. Упростим выражение:

\( = 5n^2 + 10. \)

Шаг 6. Теперь выражение для суммы квадратов пяти последовательных чисел выглядит так:

\( 5n^2 + 10 = 5(n^2 + 2). \)

Шаг 7. Чтобы эта сумма могла быть квадратом натурального числа, выражение \( n^2 + 2 \) должно быть кратным 5, так как оно умножается на 5.

Шаг 8. Проверим, при каких значениях \( n \) выражение \( n^2 + 2 \) кратно 5.

Для этого подставим различные значения \( n \):

При \( n = 1, \quad 1^2 + 2 = 3 \);

при \( n = 2, \quad 2^2 + 2 = 6 \);

при \( n = 3, \quad 3^2 + 2 = 11 \);

при \( n = 4, \quad 4^2 + 2 = 18 \);

при \( n = 5, \quad 5^2 + 2 = 27 \);

при \( n = 6, \quad 6^2 + 2 = 38 \);

при \( n = 7, \quad 7^2 + 2 = 51 \);

при \( n = 8, \quad 8^2 + 2 = 66 \);

при \( n = 9, \quad 9^2 + 2 = 81. \)

Шаг 9. Из приведенных значений видно, что \( n^2 + 2 \) не делится на 5 для любого натурального числа \( n \).

Шаг 10. Следовательно, выражение \( 5(n^2 + 2) \) не может быть квадратом натурального числа, так как для этого \( n^2 + 2 \) должно быть кратно 5, чего не происходит.

Ответ: сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.