ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 17.50 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Какое наименьшее значение и при каком значении переменной может принимать выражение:

1) \( x^2 \)

2) \( x^2 — 16 \)

3) \( (x + 4)^2 + 20 \)

1) \( x^2 \Longrightarrow \) наименьшее значение равно 0 при \( x = 0. \)

2) \( x^2 — 16 \Longrightarrow \) наименьшее значение равно \( (-16) \) при \( x = 0. \)

3) \( (x + 4)^2 + 20 \Longrightarrow \) наименьшее значение равно 20 при \( x = -4. \)

Шаг 1. Рассмотрим выражение \( f(x) \) и разберемся, как найти его наименьшее значение.

1) \( x^2 \):

Это квадратичная функция, которая имеет вид параболы. Коэффициент при \( x^2 \) положителен, поэтому парабола открывается вверх. Минимум этой функции находится в точке, где производная функции равна нулю. Производная функции \( f(x) = x^2 \) равна \( f'(x) = 2x \). При \( f'(x) = 0 \), получаем \( x = 0 \).

Таким образом, наименьшее значение функции \( f(x) = x^2 \) равно 0 и достигается при \( x = 0 \).

2) \( x^2 — 16 \):

Это также квадратичная функция, с тем же коэффициентом при \( x^2 \), что и в предыдущем случае. Парабола снова открывается вверх, и её минимум будет в той же точке, что и у функции \( x^2 \), то есть при \( x = 0 \).

Однако из-за сдвига на 16 вниз, минимальное значение функции будет равно \( -16 \), и оно также достигается при \( x = 0 \).

3) \( (x + 4)^2 + 20 \):

Это квадратичная функция, но сдвинутая по оси \( x \) на \( -4 \) и по оси \( y \) на 20. Чтобы найти наименьшее значение, раскроем скобки:

\( f(x) = (x + 4)^2 + 20 = x^2 + 8x + 16 + 20 = x^2 + 8x + 36 \).

Это выражение также представляет собой параболу, открывающуюся вверх. Чтобы найти её минимум, вычислим производную \( f'(x) = 2x + 8 \), приравняем её к нулю: \( 2x + 8 = 0 \), получаем \( x = -4 \). Таким образом, наименьшее значение функции будет при \( x = -4 \), и оно будет равно 20.

Шаг 2. Сравнение результатов:

Для функции \( x^2 \), минимальное значение равно 0 при \( x = 0 \);

Для функции \( x^2 — 16 \), минимальное значение равно \( -16 \) при \( x = 0 \);

Для функции \( (x + 4)^2 + 20 \), минимальное значение равно 20 при \( x = -4 \).

Ответ: для каждого из выражений наименьшее значение достигается при определённом значении переменной. Для \( x^2 \) это 0 при \( x = 0 \), для \( x^2 — 16 \) это \( -16 \) при \( x = 0 \), для \( (x + 4)^2 + 20 \) это 20 при \( x = -4 \).