ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 17.51 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Какое наибольшее значение и при каком значении переменной может принимать выражение:

1) \( -x^2 \)

2) \( -x^2 + 4 \)

3) \( 12 — (x — 1)^2 \)

1) \( -x^2 \Longrightarrow \) наибольшее значение равно 0 при \( x = 0. \)

2) \( -x^2 + 4 \Longrightarrow \) наибольшее значение равно 4 при \( x = 0. \)

3) \( 12 — (x — 1)^2 \Longrightarrow \) наибольшее значение равно 12 при \( x = 1. \)

Шаг 1. Рассмотрим выражения, которые мы будем анализировать:

1) \( -x^2 \):

Это квадратичная функция с отрицательным коэффициентом при \( x^2 \). График этой функции представляет собой параболу, направленную вниз. Парабола всегда имеет наибольшее значение в вершине. Чтобы найти вершину параболы, нужно найти точку, в которой производная функции равна нулю. Производная функции \( f(x) = -x^2 \) равна \( f'(x) = -2x \). При \( f'(x) = 0 \), получаем \( x = 0 \).

Таким образом, наибольшее значение функции \( f(x) = -x^2 \) равно 0 и достигается при \( x = 0 \).

2) \( -x^2 + 4 \):

Это также квадратичная функция с тем же коэффициентом при \( x^2 \), как и в предыдущем случае, и с сдвигом по оси \( y \) на 4 единицы вверх. Функция снова представляет собой параболу, направленную вниз. Вершина параболы будет также в точке \( x = 0 \), но теперь наибольшее значение будет сдвинуто на 4 единицы вверх. Таким образом, наибольшее значение функции будет равно 4, и оно будет достигаться при \( x = 0 \).

3) \( 12 — (x — 1)^2 \):

Это квадратичная функция, которая также представляет собой параболу, направленную вниз. Мы можем привести это выражение к стандартной форме, раскрыв скобки:

\( f(x) = 12 — (x^2 — 2x + 1) = 12 — x^2 + 2x — 1 = -x^2 + 2x + 11 \).

Для нахождения наибольшего значения функции, находим её вершину. Вершина параболы для функции \( f(x) = -x^2 + 2x + 11 \) находится в точке, где производная равна нулю. Производная функции \( f'(x) = -2x + 2 \), приравняем её к нулю:

\( -2x + 2 = 0 \), получаем \( x = 1 \).

Таким образом, наибольшее значение функции будет равно 12, и оно достигается при \( x = 1 \).

Шаг 2. Сравнение результатов:

Для функции \( -x^2 \), наибольшее значение равно 0 при \( x = 0 \);

Для функции \( -x^2 + 4 \), наибольшее значение равно 4 при \( x = 0 \);

Для функции \( 12 — (x — 1)^2 \), наибольшее значение равно 12 при \( x = 1 \).

Ответ: наибольшее значение функции \( -x^2 \) равно 0 при \( x = 0 \), наибольшее значение функции \( -x^2 + 4 \) равно 4 при \( x = 0 \), наибольшее значение функции \( 12 — (x — 1)^2 \) равно 12 при \( x = 1 \).