ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 18.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Какому из данных выражений тождественно равен многочлен a² — 18a + 81:

1) (a — 3)²;

2) a — 9;

3) (a — 9)(a + 9);

4) (a — 9)²?

\( a^2 — 18a + 81 = a^2 — 2 \cdot 9a + 9^2 = (a — 9)^2 \to \) 4).

Ответ: 4).

Необходимо найти, какому из данных выражений тождественно равен многочлен \( a^2 — 18a + 81 \).

Исходное выражение: \( a^2 — 18a + 81 \)

Начнем с приведения его к форме, которая поможет нам сравнить с предложенными вариантами.

1) Раскроем скобки в выражении \( (a — 9)^2 \), чтобы посмотреть, совпадает ли оно с исходным многочленом.

\( (a — 9)^2 = (a — 9)(a — 9) \)

Используем формулу разложения квадрата binomium:

\( (a — 9)^2 = a^2 — 2 \cdot 9a + 9^2 \)

\( = a^2 — 18a + 81 \)

Таким образом, мы видим, что \( (a — 9)^2 \) тождественно равно исходному многочлену \( a^2 — 18a + 81 \).

Ответ: 4) \( (a — 9)^2 \).

Теперь проверим остальные варианты:

2) Выражение \( (a — 3)^2 \):

\( (a — 3)^2 = (a — 3)(a — 3) \)

Раскроем скобки:

\( (a — 3)^2 = a^2 — 2 \cdot 3a + 3^2 \)

\( = a^2 — 6a + 9 \)

Это не совпадает с исходным многочленом \( a^2 — 18a + 81 \), следовательно, \( (a — 3)^2 \) не является тождественно равным ему.

3) Выражение \( (a — 9)(a + 9) \):

Используем формулу разности квадратов:

\( (a — 9)(a + 9) = a^2 — 9^2 \)

\( = a^2 — 81 \)

Это также не совпадает с исходным многочленом \( a^2 — 18a + 81 \), следовательно, \( (a — 9)(a + 9) \) не является тождественно равным ему.

4) Как мы уже выяснили, \( (a — 9)^2 = a^2 — 18a + 81 \), что совпадает с исходным многочленом.

Таким образом, правильный ответ: 4) \( (a — 9)^2 \).